Понятие о комплексных числах

Рассмотрим алгебраическое уравнение и решим его: , . Уравнение вида отличается от предыдущего лишь знаком. Попробуем его решить такт же, как предыдущее: . В области действительных чисел корень из (-1) не существует, но было введено обозначение , которое назвали мнимой единицей, что позволило извлекать корни из отрицательных чисел. Так, в нашем примере .

Рассмотрим еще одно уравнение и решим его: .

Из рассмотренных примеров следует, что при извлечении корней из отрицательных чисел, мы приходим к числам новой природы – комплексным числам.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида

, где – действительные числа, i – мнимая единица.

Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z) (от франц. reele – «действительный»), а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от франц. imaginaire – «мнимый»), то есть .

Действительное число x является частным случаем комплексного при y=0. Комплексные числа вида , не являющиеся действительными, то есть при y ≠ 0 называются мнимыми, а при x = 0, y ≠ 0, то есть числа вида z = iy – чисто мнимыми.

Ч

исла и называются сопряженными комплексными числами.

Z

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел используют точки координатной плоскости XOY. Плоскость Z называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости Z(x;y), причем это соответствие

Рисунок 42 взаимно однозначное (рисунок 42).

Комплексные числа можно записывать также в тригонометрической или показательной формах записи.

С действиями над комплексными числами можно познакомиться с помощью литературы [1, 4].

3. Характеристическое уравнение не имеет действительных корней (дискриминант D < 0).

При решении характеристического уравнения (12.5) в случае, когда его дискриминант отрицателен, мы получаем два комплексно сопряженных числа вида , где – действительные числа.

Можно показать [1, 4], что этим корням соответствуют два линейно независимых решения и . Тогда общее решение ОЛУ имеет вид: или

(12.8)

Обобщая рассмотренные случаи, запишем правило нахождения общего решения ОЛУ.

Для того, чтобы найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка вида

необходимо:

1) составить характеристическое уравнение, заменив в ОЛУ на k², на k, y на единицу, то есть:

, и решить полученное квадратное уравнение

2) записать общее решение ОЛУ в зависимости от полученных корней, используя данные следующей таблицы 2.

Таблица 2.

№ п/п	Корни характеристического уравнения	Вид общего решения уравнения
1	Действительные и различные
2	Действительные и равные
3	Комплексные сопряженные

Пример 12.1 Найти общее решение уравнения: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Составим характеристическое уравнение, соответствующее данному ОЛУ, заменяя на k², а на k:

.

Корни характеристического уравнения действительные и различные. Тогда, согласно п.1 таблицы 2, общее решение данного уравнения запишется в виде:

.

б) Характеристическое уравнение, соответствующее данному ОЛУ, запишется так: . Найдем его корни: , то есть имеем два равных действительных корня . Используя п.2 таблицы 2, запишем общее решение уравнения:

.

в) Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение , решая которое, имеем - два комплексных сопряженных корня. Действительная часть корней , а мнимая . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

Пример 12.2 Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: , корни которого равны .

Тогда общее решение запишется в виде:

.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями:

Так как ,

то из следует, что

или .

Так как , то , и частное решение имеет вид:

.

Пример 12.3 Материальная точка массы m притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению x точки от притягивающего центра (упругая сила) (рисунок 43). Найти закон движения этой точки, пренебрегая сопротивлением среды.

Решение. Согласно закону Ньютона имеем

,

где а - , сила .

Здесь t – время, k – коэффициент Рисунок 43

пропорциональности, а знак минус поставлен потому, что направление действующей силы противоположно смещению x. Тогда получаем, что

, или .

Обозначим через , тогда , а уравнение примет вид:

.

Мы получили однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет корни . Тогда общее решение уравнения запишется следующим образом:

.

Можно положить , где А и – некоторые другие произвольные постоянные, отсюда

, или ,

то есть материальная точка в наших условиях совершает периодические гармонические колебания около притягивающего центра с амплитудой А и начальной фазой .