13.5 Вопросы для самопроверки

1. Из чего складывается общее решение НЛУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

2. Запишите, не находя коэффициентов, общий вид частных решений уравнений: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Для решения каких уравнений применяют теорему о наложении решений?

13.6 Вопросы для самостоятельной работы

С помощью рекомендуемой литературы [1, 4] изучите и законспектируйте тему «Приближенные методы решения дифференциальных уравнений».

Лекция №14

Тема: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ

14.1 Определение числового ряда и его сходимости

14.2 Свойства сходящихся рядов

14.3 Необходимый признак сходимости и его следствие

14.4 Вопросы для самопроверки

14.5 Вопросы для самостоятельной работы

14.1 Определение числового ряда и его сходимости

При решении некоторых математических задач приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых.

В теории действительных чисел известно лишь, что означает сумма конечного числа чисел. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Рассмотрим, например, задачу о преобразовании бесконечной десятичной периодической дроби 0,5(18) в обыкновенную.

.

Все слагаемые суммы, стоящей в правой части полученного равенства, кроме первого, образуют бесконечную геометрическую прогрессию. Из школьного курса математики известно, что ее сумма равна:

, (14.1)

где b₁ - первый член прогрессии, q – ее знаменатель.

Тогда получаем, что .

Однако не всегда в бесконечных суммах чисел легко определять конечный результат, а в большинстве случаев этого сделать и невозможно.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел U₁, U₂, ...,U_n,..., соединенных между собой знаками алгебраического сложения:

(14.2)

При этом числа U₁, U₂, ...,U_n,... называются членами ряда, а член U_n – общим или n-м членом ряда.

Ряд (14.2) считается заданным, если известен закон составления каждого его члена. Обычно член ряда описывается как некоторая функция от своего номера:

(14.3)

Например, ряд с общим членом имеет вид:

.

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример 14.1 Найти формулу общего члена ряда: а) ;

б) . .

Р ешение. а) Выпишем отдельно числа, составляющие числители 3, 7, 11, … и знаменатели 7, 12, 17, … дробей, которыми представлены члены ряда. Каждый последующий член первой последовательности чисел отличатся от предыдущего на одно и то же постоянное число, равное 4. Следовательно, мы имеем арифметическую прогрессию, разность которой . Известно, что для арифметической прогрессии n-ый ее член может быть найден по формуле:

(14.4)

где а₁ – первый член прогрессии, d – разность.

Тогда имеем для прогрессии 3, 7, 11, …

, а для прогрессии 7, 12, 17, …, у которой . Таким образом, n-ый член ряда будет иметь вид: .

б) Числители членов ряда 4, 16, 64, … представляют собой геометрическую прогрессию, так как каждое последующее число получено из предыдущего путем умножения его на одно и то же число, равное 4, которое называется знаменателем геометрической прогрессии. Известно, что для геометрической прогрессии общий ее член может быть найден по формуле:

(14.5)

где b₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель.

Тогда получаем . Знаменатели членов ряда 2, 5, 10, … могут быть представлены в виде: 1+1, 4+1, 9+1, … .При этом первое слагаемое сумм равно квадрату номера члена ряда, то есть n², а второе слагаемое – постоянно и равно 1. Следовательно, знаменатель общего члена ряда имеет вид . Чередование знаков у членов ряда описывается знаковым множителем . Таким образом, общий член ряда можно записать так:

.

Запись числового ряда в виде (14.2) сама по себе никакого определенного числового смысла не имеет, поскольку действие сложения имеет дело каждый раз лишь с конечным числом слагаемых. Этот смысл выражению (14.2) необходимо приписать нам сами, причем так, чтобы «бесконечная сумма» (14.2), с одной стороны, была бы «похожа» на обычные суммы, а с другой – описывала бы на языке математического анализа те или иные реальные факты и помогла бы решать задачи. Для этого введем следующее определение.

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной

суммой ряда: (14.6)

Рассмотрим первую, вторую, третью и т.д. частичные суммы ряда (14.2):

.

При этом мы получаем бесконечную последовательность частичных сумм .

О пределение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть:

(14.7)

Число S называется суммой ряда.

О пределение. Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм предела не имеет или он бесконечен.

Содержание теории числовых рядов состоит в установлении сходимости или расходимости тех или иных рядов.

Пример 14.2 Исследовать сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии:

(14.8).

Решение. Для определения сходимости или расходимости ряда (14.8) необходимо установить те значения q, при которых это будет происходить.

Составим n-ую частичную сумму ряда:

. (14.9)

Из школьного курса алгебры известно, что сумма n первых членов геометрической прогрессии, то есть n-ая частичная сумма (14.9) при равна:

. (14.10)

Для определения сходимости или расходимости ряда (14.8) необходимо найти предел n-ой частичной суммы при , значение которого будет зависеть от . При <1 имеем, что , а при >1 - .

Тогда

Следовательно, ряд (14.8) сходится при <1 и его сумма , а при >1 – ряд расходится.

Рассмотрим поведение ряда (14.8) при , который тогда будет иметь вид: . Его n-ая частичная сумма и , то есть ряд расходится.

При получаем ряд , для которого при n четном и - при n нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится.

Таким образом, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится к сумме при < 1 и расходится при .

Пример 14.3 Исследовать ряд на сходимость: .

Решение. Составим n-ую частичную сумму ряда . Так как члены ряда образуют арифметическую прогрессию с разностью , а сумма n первых ее членов определяется по формуле , то получаем, что . Тогда и, следовательно, ряд расходится.

Пример 14.4 Исследовать ряд на сходимость:

Решение. Составим n-ую частичную сумму ряда:

. Найти ее значение непосредственно невозможно, поэтому преобразуем каждый член так, чтобы суммирование стало очевидным. Для этого разложим дробь, представляющую n-ый член, на сумму простейших дробей:

. Для определения неизвестных коэффициентов А и В приравняем числители дробей:

.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях n:

Следовательно, .

Тогда n-ая частичная сумма ряда преобразуется к виду:

.

Перейдем к пределу при : . Таким образом, ряд сходится и его сумма равна .

Приведенные примеры показывают, что установление сходимости или расходимости ряда с использованием определения оказывается зачастую неудобным из-за трудности вычисления частичных сумм ряда, которые сами по себе не представляют интереса и после решения задачи превращаются в «отходы производства». Более того, иногда не нужна даже сумма ряда, а все исследования ведутся для установления самого факта сходимости или расходимости ряда. Поэтому представляют интерес методы анализа рядов, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы. Приемам и методам такого рода и посвящена, в основном, теория рядов.