1.4 Частные и полное приращения функции двух переменных.

Рассмотрим функцию , в которой дадим аргументу x приращение Δx, а аргументу y – приращение Δy. Тогда функция z получит наращенное значение . Величина

(1.6)

н азывается полным приращением функции в точке (x, y). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента y, то получаемые приращения функции соответственно:

(1.7)

(1.8)

называются частными приращениями.

Полное приращение, вообще говоря, не равно сумме частных, то есть

.

1.5 Вопросы для самопроверки

1. Что называется функцией двух переменных? Как она изображается графически?

2. Что называется линией уровня функции ?

3. Дайте определение предела функции в точке (x₀, y₀). Чем оно отличается от такого же определения для функции ?

4. Какая функция двух переменных называется непрерывной в точке (x₀, y₀)?

5. Как определяют частные и полное приращения функции ?

1.6 Вопросы для самостоятельной работы.

С помощью рекомендуемой литературы [1] изучите и законспектируйте ответы на вопросы:

1) Что означает скалярное поле?

2) Какие поверхности называют поверхностями уровня?

3) Как определяется производная по направлению?

4) Как определяется градиент функции? Что он означает?

Лекция №2

Тема: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1 Частные производные первого порядка функции

2.2 Дифференциал функции

2.3 Частные производные и дифференциалы высших порядков

2.4 Вопросы для самопроверки

2.5 Вопросы для самостоятельной работы

2.1 Частные производные первого порядка функции

Пусть задана функция . Если в ней зафиксировать значение y, то она станет функцией лишь одной переменной x, для которой можно получить частное приращение функции и поставить вопрос о нахождении производной по переменной x.

Определение. Частной производной по переменной x от функции называется предел отношения частного приращения по переменной x к приращению при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: , , .

Тогда по определению:

(2.1)

Аналогично определяется частная производная по переменной y:

(2.2)

(прочтите это определение словами самостоятельно).

Частная производная по y может обозначаться еще и так: , .

Выясним геометрический смысл частных производных функции . Пусть график представляет собой некоторую поверхность Р (рисунок 6). Тогда при мы получаем кривую Г_х – сечение этой поверхности плоскостью .

Рисунок 6

Следовательно, производная есть угловой коэффициент касательной к кривой Г_х в заданной точке , то есть

, (2.3)

где α – угол наклона касательной c положительным направлением оси ОХ.

Аналогично,

, (2.4)

где β – угол наклона касательной к линии пересечения Г_y поверхности Р плоскостью с положительным направлением оси OY в точке .

Так как частные производные и определяются как производные функции одной из переменных при условии постоянства значений другой, то для нахождения производной надо считать постоянной переменную y, а для нахождения - переменную x и применять известные правила и формулы дифференцирования, справедливые для функций одной переменной.

Пример 2.1 Найти частные производные функции .

Решение. Чтобы найти частную производную по x, считаем y постоянной. Таким образом,

.

Аналогично, дифференцируя по y, считаем x постоянной величиной, то есть, .

Пример 2.2 Поток пассажиров z между городами выражается функцией , где x – число жителей; y – расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл.

Решение. показывает, что при одном и том же расстоянии y между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. показывает, что при одной и той же численности x уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния.