14.2 Свойства сходящихся рядов

Т еорема 1 (об умножении ряда на число). Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд , где - произвольное число, сходится, и его сумма равна .

Доказательство. Рассмотрим ряд и его n-ую частичную сумму . Так как ряд сходится, то, по определению, . Для ряда , все члены которого получены из членов исходного ряда путем умножения на одно и то же число с, n-ая частичная сумма .

Тогда - конечен и, следовательно, ряд сходится, а его сумма равна , что и требовалось доказать.

Последующие свойства рядов приведем без доказательства.

Теорема 2 (о сложении рядов). Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится, и его сумма .

Теорема 3 (об игнорировании первых членов ряда). Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа m его первых членов.

Теорему 3 можно сформулировать иначе так: на сходимость ряда не влияет отбрасывает любого конечного числа его первых членов.

14.3 Необходимый признак сходимости и его следствие

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при

равен нулю, то есть: . (14.14)

Доказательство. Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда , тогда , где - частичная сумма (n-1) –го членов ряда. Так как ряд сходится, то и . Поэтому , что и требовалось доказать.

Следствие (достаточный признак сходимости ряда). Если предел общего

члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится, то есть:

(14.15)

Доказательство. Предположим противное, то есть ряд сходится, но тогда на основании необходимого признака сходимости имеем, что , а это условие противоречит условию, заданному в следствии . Следовательно, наше предположение неверно, и ряд расходится, что и требовалось доказать.