13.2 Метод подбора частного решения нлу в случае, когда правая

часть имеет вид

В этом случае НЛУ имеет вид:

, (13.3)

где - многочлен n-ой степени относительно x.

Покажем, что частное решение (13.3) следует искать в виде:

(13.4)

где - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами.

Для нахождения коэффициентов многочлена подставим в уравнение (13.3).

В этом случае , тогда ,

а

.

Подставив в уравнение (13.3), получим:

. Сгруппируем члены, содержащие и , вынося их за скобку:

|: .

Тогда имеем:

. (13.5)

а) Пусть и .

Справа в уравнении (13.5) находится многочлен n-ой степени от x. Покажем, что и в левой части находится многочлен n-ой степени, что позволит путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x, найти неизвестные коэффициенты многочлена .

Действительно, - многочлен n-ой степени, - многочлен (n-1)-ой степени, - многочлен (n-2)-ой степени, и так как не является корнем характеристического уравнения, то и , а тогда сумма многочленов, стоящих слева в равенстве (13.5) будет многочленом n-ой степени.

б) Пусть , .

Так как ω совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то . Тогда в равенстве (13.5) последнее слагаемое в левой части равно нулю, и левая часть будет многочленом (n - 1)-ой степени. Для того, чтобы можно было сравнить многочлены левой и правой частей (13.5), необходимо повысить заранее степень многочлена на единицу, то есть домножить его на x. Следовательно, в этом случае частное решение следует искать в виде:

.

в) Пусть .

В этом случае ω совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения и, следовательно, . Откуда , а также . Тогда в левой части равенства (13.5) будет находиться многочлен (n – 2)-ой степени, а справа – n-ой. Для сравнения многочленов слева и справа повышаем степень на две единицы, то есть, умножаем его на x².

Таким образом, следует искать в виде:

, ч. т.д.

Пример 13.1 Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

Общее решение данного НЛУ будем искать в виде:

,

где – общее решение НЛУ;

- общее решение соответствующего ОЛУ;

- частное решение НЛУ.

1) Найдем - общее решение соответствующего ОЛУ: .

Для этого составим характеристическое уравнение и решим его: - два действительных различных корня. Тогда общее решение имеет вид:

.

2) Определим - частное решение НЛУ: .

Правая часть этого уравнения представляет собой произведение многочлена первой степени от x на экспоненту , у которой .

Тогда по виду правой части можно записать и вид :

, так как .

Найдем неизвестные коэффициенты А и В, подставив в исходное уравнение. Для этого вычислим и :

, , .

Имеем: , или .

Полученное равенство является тождеством, поэтому коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства должны быть равны:

Следовательно, частное решение имеет вид , а общее решение исходного уравнения запишется так:

.

б) ,

1) - общее решение ОЛУ: . Характеристическое уравнение имеет корни .

Следовательно, .

2) - частное решение НЛУ: .

По виду правой его части запишем, что

, так как ,

тогда ; .

Подставим в НЛУ:

, или А = 1.

Тогда имеет вид: , а общее решение НЛУ –

.

в) , .

1) Находим - общее решение ОЛУ: . Его характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня .

Тогда общее решение можно записать так:

.

2) - частное решение НЛУ: .

Запишем вид , глядя на правую часть уравнения:

, так как , или .

Для нахождения коэффициентов А и В вычислим и подставим их в уравнение:

Так как подстановка полученных значений в уравнение занимает много времени и места, то поступим следующим образом: умножим каждую строчку слева на те коэффициенты, с которыми и входят в левую часть НЛУ. Складывая эти строчки после умножения, мы получаем левую часть исходного уравнения. В силу равенства левой и правой частей будем сразу сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x, предварительно сократив обе части на e^x.

Тогда , а общее решение имеет вид:

.