1.3 Предел и непрерывность функции

Большая часть основных понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай функции двух переменных.

О днако несмотря на общность понятий, естественно, что в соответствующих определениях будут и отличия. Так в определении предела функции одной переменной вводилось понятие -окрестности точки , под которой понимался симметричный интервал относительно и радиуса (рисунок 4) ( ). Если мы выбирали произвольную

точку x из этой окрестности, то расстояние от неё

до было меньше , т.е. или .

Для функции двух переменных введем понятия Рисунок 4

расстояния и -окрестности точки .

О пределение. Расстоянием от точки до точки называется число , равное

. (1.3)

О

пределение. Окрестностью точки радиуса ( -окрест­ностью) назовем множество точек плоскости таких, что .

Из этого определения и определения

окружности следует, что геометрически

δ-окрестность точки - это все

внутренние точки круга с центром

и радиусом δ (рисунок 5).

О пределение. Число а называется пределом

функции при , (или в

точке ), если для любого, даже сколь Рисунок 5

угодно малого положительного числа , найдется положительное число , зависящее от , такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Краткая запись:

. (1.4)

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка стремится к точке .

Практически все теоремы о пределах, справедливые для функции одной переменной, выполняются и для функции .

Пример 1.3 Найти пределы функций: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Чтобы вычислить предел необходимо подставить предельные значения аргументов и в функцию, т.е. . Следовательно, .

б) Подстановка предельных значений аргументов и приводит к неопределенности вида . Чтобы её раскрыть, сведем функцию двух переменных к функции одной переменной, введя замену .

Условие равносильно тому, что . Тогда получаем:

. При раскрытии неопределенности использовалось правило Лопиталя.

Как видно из данного примера, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной.

Причина заключается в том, что на прямой существуют только два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке (справа или слева). На плоскости же таких направлений - бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

в) В данном примере также имеем неопределенность вида . Будем приближаться к точке О (0; 0) по прямым . Если , то

,

где k – некоторое число.

Получим, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (x; y) к точке (0; 0), то рассматриваемый предел не существует.

Аналогично понятию непрерывности для функции вводится непрерывность и для функции .

Определение. Функция называется непрерывной в точке

, если ее предел в этой точке совпадет со значением

функции в данной точке, то есть

непрерывна в точке (1.5)

Данное определение в подробной записи выглядит так:

непрерывна в точке (x₀, y₀), если выполняются условия:

а) ;

б) - конечный;

в) .

Г еометрический смысл непрерывности очевиден: график функции в точке (x₀, y₀), представляет собой нерасслаивающую поверхность.

Определение. Будем говорить, что функция непрерывна на

множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность, называются

точками разрыва функции.

В отличие от функции одной переменной точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва.

Например, функция имеет линию разрыва , то как в точках этой линии дробь, задающая функцию, не существует (знаменатель равен нулю).