12.3 Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными

коэффициентами называется линейным? Является ли линейным

уравнение вида: ?

2. Как называют уравнение вида: а) ;

б) ?

3. Какой вид имеет общее решение ОЛУ 2-го порядка с постоянными

коэффициентами?

4. Какие решения называют линейно независимыми?

5. Запишите вид общего решения уравнений: а) ;

б) ; в) .

12.4 Вопросы для самостоятельной работы

С помощью рекомендуемой литературы [1, 4] изучите и законспектируйте ответы на вопросы:

1) Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных числе.

2) Основные действия над комплексными числами.

3) Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Лекция №13

ТЕМА: ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

13.1. Нахождение общего решения НЛУ 2-го порядка с постоянными

коэффициентами

13.2 Метод подбора частного решения НЛУ в случае, когда правая

часть имеет вид

13.3 Метод подбора частного решения НЛУ в случае, когда правая

часть имеет вид

13.4 Теорема о наложении решений.

13.5 Вопросы для самопроверки

13.6 Вопросы для самостоятельной работы

13.1 Нахождение общего решения нлу 2-го порядка

с постоянными коэффициентами

Перейдем теперь к нахождению общего решения уравнения:

. (13.1)

Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью НЛУ (13.1), в дальнейшем будем называть соответствующим однородным уравнением.

Для ответа на вопрос, как выглядит общее решения уравнения (13.1), докажем следующую теорему.

Теорема(о конструкции общего решения НЛУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами).

Если частное решение линейного неоднородного уравнения (13.1),

а общее решение соответствующего однородного уравнения, то

функция

(13.2)

является общим решением НЛУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Доказательство. Покажем, что функция y(x), определяемая равенством (13.2), является решением (13.1).

Так как - решение соответствующего однородного уравнения, то при подстановке его в уравнение, оно обратится в тождество:

. Аналогично вследствие того, что - есть решение НЛУ (13.1), то .

В таком случае имеем:

Отсюда следует, что функция действительно является решением НЛУ (13.1).

Можно показать [1, 4], что это решение является общим решением НЛУ, то есть из него можно выделить любое решение, удовлетворяющее начальным условиям: , , ч. т.д.

Итак, для нахождения общего решения НЛУ необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения, что мы умеем делать (см. лекцию 12), а также частное решение исходного НЛУ.

Для отыскания существует метод вариации постоянных, который применим, вообще говоря, к любой правой части НЛУ. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный вид, существует более простой способ нахождения частного решения. Этот способ называется методом подбора формы частного решения по виду правой части.