10.3 Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Будем считать, что дифференциальное уравнение записано в дифференциальной форме (10.6): .

О пределение. Если в дифференциальном уравнении вида (10.6) функция, стоящая при зависит только от , а функция, стоящая при , зависит только от , то оно называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными:

(10.9)

Ч тобы найти его решение (функцию ), необходимо проинтегрировать обе части (10.9):

(10.10)

( 10.10) представляет собой общий интеграл уравнения с разделенными переменными.

Замечание. Если дифференциальное уравнение записано в виде (10.5), разрешенном относительно производной , то оно будет уравнением с разделенными переменными, если правая его часть зависит только от , т.е. уравнение имеет вид:

. (10.11)

Умножив обе части (10.11) на переводим уравнение в дифференциальную форму записи и далее находим общее решение так, как это показано выше.

Пример 10.1 Решить дифференциальные уравнения: а) ; б) .

Решение. а) Так как при находится функция, зависящая только от , а при - только от , то данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Для нахождения его общего решения проинтегрируем обе части: - общий интеграл данного уравнения. Найдем его общее решение, выразив в явном виде через :

или - общее решение.

б) В данном уравнении правая часть зависит только от , значит – это уравнение с разделенными переменными. Умножим обе его части на для того, чтобы перевести запись уравнения в дифференциальную форму:

, так как , то

. Проинтегрируем:

, или

- общее решение уравнения.

Если задать начальное условие, например, , то можно получить частное решение. Найдем конкретное значение произвольной постоянной С, воспользовавшись начальным условием:

или , тогда

- частное решение уравнения.

10.4 Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

О пределение. Если в дифференциальном уравнении вида (10.6) функции и могут быть представлены в виде произведения двух множителей, каждый из которых зависит лишь от одной переменной или , то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными:

(10.12)

Покажем, как найти общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными (10.12). Предположим, что и , тогда разделим обе части уравнения (10.12) на , что позволит при получить функцию, зависящую только от , а при - только от , т.е. «разделить» переменные:

- уравнение с разделенными переменными.

Следовательно, общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

(10.13)

Замечания. 1. При почленном делении уравнения на произведение могут быть потеряны те решения уравнения, которые обращают это произведение в ноль. Поэтому следует отдельно решить уравнение и найти те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.

2.Для получения общего интеграла нет необходимости в запоминании общей формулы (10.13). Достаточно запомнить лишь процедуру «разделения» переменных, позволяющую данное уравнение свести к уравнению с разделенными переменными.

3 .Если дифференциальное уравнение записано в виде, разрешенном относительно производной, то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если функция может быть представлена в виде произведения двух множителей, каждый из которых зависит лишь от одной переменной или :

(10.14)

(10.14) – уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 10.2 Найти частный интеграл дифференциального уравнения , удовлетворяющий начальному условию .

Решение. Функции, стоящие при и в исходном уравнении, представлены в виде произведения двух множителей, каждый из которых зависит от или , поэтому мы имеем уравнение с разделяющимися переменными. Для того, чтобы свести уравнение к уравнению с разделенными переменными, разделим обе части на (считая, что ):

- уравнение с разделенными переменными.

Проинтегрируем:

или , или - общий интеграл

уравнения.

Если рассматривать случай, что , то его решения и являются решениями данного уравнения, что проверяется подстановкой этих значений в исходное уравнение, но они не входят в общий интеграл. Следовательно, и - особые решения. Найдем частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию . Отсюда получаем

Следовательно, - частный интеграл.

Вернемся к задаче 1, в которой было получено дифференциальное уравнение, описывающее протекание демографического процесса:

( - константа).

По замечанию 3 – это уравнение с разделяющими переменными. Найдем его общее решение: .

Проинтегрируем: .

Выразим , воспользовавшись определением логарифма:

. Обозначим через , тогда - общее решение, представляющее собой математическую модель демографического процесса, в которой - постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени). Если начальное условие имеет вид , то . Тогда частное решение запишется так:

. (10.15)