I) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Если функция f(x)непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл существует. При изменении верхнего предела b интеграл изменяется, то есть он является непрерывной функцией, зависящей от b. Рассмотрим поведение этого интеграла при .

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) на

полуинтервале [a, +∞] называется предел , то есть:

(8.11)

Если предел, стоящий в правой части равенства (8.11) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале (- ∞; b]:

(8.12)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами (то есть на интервале (-∞, +∞)) определяется формулой:

, (8.13)

где с – любая фиксированная точка оси OX.

При этом интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства (8.13). Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. Использование

Рисунок 31 несобственных интегралов

указанных выше видов, позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Если , то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями и осью абсцисс (рисунок 31)

Пример 8.3 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) ; б) ; в) .

Решение. а) По определению

, то есть искомый интеграл сходится к .

б)

Следовательно, интеграл расходится.

в) Разобьем точкой с = 0 числовую прямую на интервалы (-∞; 0) и (0; +∞), тогда по определению запишем:

.

Следовательно, первый из интегралов расходится, а второй – нет, но исходный несобственный интеграл в этом случае является расходящимся.

II) Несобственные интегралы от разрывных функций.

Пусть функция непрерывна при , а в точке x = b имеет разрыв 2-го рода (то есть, является неограниченной при ). Однако и в этом случае можно обобщить понятие интеграла.

О пределение. Несобственным интегралом от функции , имеющей разрыв при x = b, называется предел , то есть:

(8.14)

Если предел, стоящий в правой части равенства (8.14) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично, если f(x) разрывна при x = a, то несобственный интеграл на полуинтервале (a, b] определяется так:

(8.15)

Если же функция f(x) терпит разрыв при x = c, где , то интеграл так же называется несобственным.

В этом случае интеграл

(8.16)

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой

части равенства. В противном случае называется расходящимся.

Пример 8.4 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) ; б) .

Решение. а) Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале (0; 1], а в точке x = 0 она терпит разрыв второго рода. Тогда по определению имеем:

. Следовательно, данный интеграл расходится.

б) Подынтегральная функция не существует, если , или x = 4, то есть эта точка является точкой разрыва второго рода. Так как x = 4 - внутренняя точка отрезка интегрирования [2, 6], то по определению несобственный интеграл равен:

,

то есть интеграл сходится.