Лекция 1

тема: функции нескольких переменных:

основные понятия

1.1 Функции двух и нескольких переменных: основные понятия

1.2 Способы задания функции двух переменных

1.3 Предел и непрерывность функции

1.4 Частные и полное приращения функции двух переменных

1.5 Вопросы для самопроверки

1.6 Вопросы для самостоятельной работы

1.1 Функции двух и нескольких переменных: основные понятия

На I курсе мы изучали функции одной переменной. Однако многим явлениям, в том числе экономическим, свойственна многофакторная зависимость. Например, величина общественного продукта (z) зависит от затрат труда ( ) и объема производственных фондов ( ) и может быть представлена в виде, так называемой функции Кобба-Дугласа:

. (1.1)

где - некоторые числа.

Из курса школьной геометрии известно, что объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны определяется по формуле: . Здесь V зависит уже от трех переменных. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

О пределение. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений ( ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной или функцией, а символ f – законом соответствия.

Множество X называется областью определения функции. Очевидно, что это подмножество n-мерного пространства. Частным случаем функции нескольких переменных является функция двух переменных . Так как все основные факты теории функций нескольких переменных свойственны и функции двух переменных, которую легче представлять графически, то будем, в основном, рассматривать функции двух переменных.

О пределение. Если каждой паре чисел ( ) из некоторого множества D по определенному закону f ставится в соответствие одно, определенное число

, то говорят, что задана функция z двух переменных и этот факт записывают так:

, (1.2)

где - аргументы; z - функция; f - закон соответствия.

Множество - область определения функции, а множество E значений, принимаемых в области определения, называется областью изменения функции.

Значение функции в некоторой точке называют частным значением функции и обозначают одним из способов: .

1.2 Способы задания функции двух переменных

Как и функция одной переменной функция двух переменных может быть задана разными способами.

а) аналитический способ

В этом случае функция z представляется в виде формулы, например, . Если при этом область определения не указана, то под ней понимают те значения аргументов x и y, при которых заданная формула имеет смысл.

Область определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями.

О пределение. Линия, ограничивающая область определения функции , называется её границей. Точки, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая только из внутренних точек называется открытой, а с присоединенной к ней границей называется замкнутой.

Пример 1.1 Для функции найти и построить её область определения.

Р

x

y

0

2

–2

4

Рисунок 1

ешение. Областью определения составляют те пары значений , при которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Построим границу области: . Это уравнение на плоскости определяет окружность. Приведем уравнение к каноническому виду:

.

Следовательно, центр окружности , а радиус . Построенная окружность (рисунок 1) делит плоскость на две части: внутри и вне окружности. Чтобы определить, где находится , подставим координаты любой пробной точки плоскости (за исключением лежащей на границе) в неравенство. Если при этом получим верное числовое неравенство, то это и будет часть плоскости, определяющая . Возьмем точку и подставим её координаты: - неверно. Следовательно, область определения - часть плоскости, лежащая вне окружности (заштрихованная на рисунке 1).

б) табличный способ

В этом случае функция z представляется в виде таблицы, в первой строке которой выписываются возможные значения переменной x, а в первом столбце – значения переменной y. Тогда числа, стоящие на пересечении строк и столбцов, представляют собой частные значения функции z.

в) графический способ

О пределение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата z которой связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением .

В общем случае графиком функции является некоторая поверхность. Например, функция имеет область определения : , что представляет собой внутренность круга (вместе с границей) с центром в начале координат и радиусом,

р авным 2 (рисунок 2). Сама же функция

графически представляет собой верхнюю

полусферу с центром в начале координат

и радиусом, равном 2. Как видно, график

функции двух переменных значительно

труднее построить, чем график функции

одной переменной. В то же время по-

верхность в пространстве обладает гораз-

до меньшей наглядностью, чем линия на

Рисунок 2 плоскости.

Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

О пределение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно числу С.

Число С в этом случае называется уровнем. Графически линии уровня – это проекции линии пересечения поверхности и плоскости на xOy.

Пример 1.2 Построить линии уровня функции .

Р ешение. Поверхность, определяемая уравнением представляет собой параболоид вращения (рисунок 3). Линии уровня - это кривая на плоскости xOy, задаваемая уравнением , которое определяет концентрические окружности с центром в точке О(0; 0) и радиусом . Причем, радиус окружностей увеличивается с ростом С.

При , т.е. мы получим

начало координат (рисунок 3).

Многие примеры линий уровня нам

известны. Так параллели и мери-

дианы на глобусе – это линии уров-

ня функций широты и долготы.

Рисунок 3 Синоптики публикуют карты с

изображение изотерм – линий равного уровня температуры и т.п.