40. Определенный интеграл от функции тождественно равной единице, равен длине отрезка интегрирования:
(6.13)
Доказательство. Используем определение определенного интеграла:
, т.к. сумма длин
всех частичных отрезков разбиения равна
длине всего отрезка
.
6.6 Вопросы для самопроверки
Как решается задача о вычислении площади криволинейной
трапеции? о вычислении объема выпускаемой продукции?
С помощью каких шагов можно прийти к определенному интегралу от функции по отрезку ?
В чем состоит геометрический (экономический) смысл определенного интеграла?
Какими основными свойствами обладает интеграл?
6.7 Вопросы для самостоятельной работы
С помощью рекомендуемой литературы [1, 3] рассмотрите и законспектируйте тему: «Интегрирование дробно-рациональных функций».
Лекция №7
Тема: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7.1 Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница
7.2 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
7.3 Замена переменной в определенном интеграле
7.4 Вопросы для самопроверки
7.5 Вопросы для самостоятельной работы
7.1 Вычисление определенного интеграла по формуле
Ньютона – Лейбница
Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим более простой способ вычисления определенных интегралов, который выражается формулой, связанной с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.
Т еорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и F(x) - любая первообразная для f(x) на . Тогда определенный интеграл от функции f(x) на равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке:
(7.1)
(
7.1)
называется формулой
Ньютона – Лейбница,
и нахождение определенных интегралов
с ее помощью осуществляется в два шага:
на первом шаге, используя технику
нахождения неопределенного интеграла,
находят некоторую первообразную F(x)
для подынтегральной функции f(x);
на втором применяется собственно формула
Ньютона – Лейбница – находится приращение
первообразной, равное искомому интегралу.
В связи с этим, введем обозначение для
приращения первообразной, которое
удобно использовать при записи решений.
По определению положим
(7.2)
Запись
читается так: «подстановка от
a
до b
в функцию
».
Тогда формулу Ньютона – Лейбница можно
переписать следующим образом:
(7.3)
Тем самым мы показали, что вычисление определенного интеграла сводится к вычислению соответствующего неопределенного интеграла, в первообразную для которого подставляются пределы интегрирования и берется их разность.
З
амечания.
1.
Понятие определенного интеграла
введено нами для случая, когда нижний
предел меньше верхнего: a
< b.
Его можно обобщить и на случай, когда a
> b.
Сделаем это так, чтобы формула Ньютона
– Лейбница оставалась справедливой.
Положим, по определению, что если нижний
предел больше верхнего, то их можно
поменять местами, изменив при этом знак
у интеграла:
(7.4)
Проверим справедливость формулы Ньютона – Лейбница:
.
Принимая во внимание (7.4), для нас отныне будет несущественно, какой из переделов интегрирования больше: верхний или нижний.
Эта формула имеет
место и для a
= b:
.
2. Величина интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть:
,
а зависит лишь от вида подынтегральной
функции и отрезка интегрирования,
поскольку смена обозначений такого
рода не влияет на поведение интегральной
суммы.
Пример 7.1
Вычислить интегралы: а)
;
б)
.
Решение. а) Используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленного деления числителя на знаменатель) и свойств определенного интеграла, получаем:
+
=
.
б) В подынтегральной функции за основной множитель выберем второй (более сложный), который представляет собой степенную функцию:
=
.