Правила интегрирования

1)

2) (k – число)

Формулы интегрирования

Название интеграла	Простые функции	№ п/п	Сложные функции
От дифференциала		1
От степенной функции		2
От показательной функции		3
От экспоненты		4
От синуса		5
От косинуса		6
От тангенса		7
От котангенса		8
Интеграл, дающий тангенс		9
Интеграл, дающий котангенс		10
Интегралы, применяемые к дробям, знаменатели которых находятся в первой степени
Интеграл, дающий логарифм знаменателя		11
Интеграл, дающий арктангенс		12
Интеграл, дающий «высокий логарифм»		13
Интегралы, применяемые к дробям, из знаменателя которых извлекается квадратный корень
Интеграл, равный удвоенному знаменателю		14
Интеграл, дающий арксинус		15
Интеграл, дающий «длинный логарифм»

Например, докажем формулу 3:

Так как дифференциал правой части равен подынтегральному выражению, то формула 3 доказана. Аналогично доказываются и все остальные.

Пример 4.1 Вычислить интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) .

Решение. а) Под знаком интеграла находится простая степенная функция, для которой по формуле (2) имеем , где . Тогда получаем: .

б) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а любой корень представить как степенную функцию с дробным показателем: . Имеем

.

в) Под знаком интеграла находится алгебраическая сумма, что по свойствам интеграла можно представить в виде алгебраической суммы интегралов от каждого слагаемого:

г) Интеграл от произведения ни по какому правилу найти нельзя, поэтому раскроем скобки и сведем интеграл к алгебраической сумме:

д) Не существует правил, по которым можно проинтегрировать дробь, но в данном случае можно воспользоваться почленным делением числителя на знаменатель, чтобы свести подынтегральное выражение к алгебраической сумме:

е) Под знаком интеграла находится сложная степенная функция вида , где - основание, а - показатель степени. Тогда по формуле под знаком интеграла должна находится и производная основания . Ее там нет, поэтому допишем ее в качестве множителя, а чтобы ничего не изменилось разделим подынтегральное выражение на (-5), но тогда корректирующий множитель можно вынести за знак интеграла: