Глава 6. Рандомизированные алгоритмы.

Возможно, у кого‑то из вас, кто просто листал эту книгу и случайно наткнулся на данную главу, возник вопрос, что же такое рандомизированные алгоритмы! Это алгоритмы, работающие случайным образом? Ничего подобного. Здесь термин рандомизированный алгоритм (randomized algorithm) употребляется в отношении алгоритма, который генерирует или использует случайные числа.

Если вы на минутку отвлечетесь и подумаете над выражением "генерация случайных чисел", то, скорее всего, придете к выводу, что оно не имеет смысла. Компьютеры ‑ это детерминированные машины: если существует определенная программа или функция, предназначенная для выполнения определенной работы, то для одного и того же набора входных данных она будет давать один и тот же набор выходных данных. (Если это не так, компьютер можно преспокойно отправлять в ремонт.) Без использования специального оборудования для генерации случайных чисел программные генераторы также представляют собой всего‑навсего функции. Каким же образом вычисляемые ими числа могут быть случайными? Если запустить генератор в некотором определенном состоянии, то, изучив исходный код генератора, можно предсказать всю последовательность генерируемых им случайных чисел. Какие же это случайные числа? Скоро мы более подробно обсудим эту дилемму.

В состав ядра операционной системы Linux входит модуль, который анализирует, каким образом пользователь вводит данные с клавиатуры и оценивает интервал между нажатиями клавиш, а затем использует полученные данные для вычисления рандомизирующего коэффициента. Подобным образом генераторы случайных чисел, имеющиеся в ядре, дают более "случайные" последовательности значений.

С применением случайных чисел в алгоритмах мы уже встречались в главе 5: алгоритм быстрой сортировки со случайным выбором базового элемента. Причина, по которой в алгоритме сортировки использовались случайные числа, состояла в том, что этот алгоритм, несмотря на его высокие общие характеристики, обладает очень низкими характеристиками в худшем случае. За счет применения случайных чисел можно значительно снизить вероятность попадания на сценарий худшего случая. В этой главе мы рассмотрим новую структуру данных ‑ списки с пропусками, которые представляют собой метод организации отсортированных связных списков с помощью случайных чисел, что существенно увеличивает скорость выполнения операции вставки нового элемента.

Есть и другие алгоритмы, использующие случайные числа. Необходимость применения случайных чисел бывает вызвана, как правило, двумя причинами: 1) пространство решений алгоритма очень велико и поиск определенного решения будет выполняться слишком медленно, 2) существует необходимость моделирования физической системы для ее оптимизации и т.п.

Все исходные коды для генераторов случайных чисел можно найти на Web‑сайте издательства, в разделе материалов. После выгрузки материалов отыщите среди них файл TDRandom.pas.

Генерация случайных чисел

Прежде всего, давайте опишем, что мы понимаем под случайным числом (random number). Без четкого определения термина мы будем неуверенно себя чувствовать при разработке и реализации генератора случайных чисел.

Будет ли число 2 случайным числом? Просто так, не привязываясь к контексту, в котором используется это число, нельзя сказать ни да, ни нет. Если один раз бросить игральный кубик, мы можем получить число 2, но оно ни о чем нам не говорит: может, это была просто удача, а, может, на всех гранях кубика были двойки, или центр тяжести кубика был смещен таким образом, что всегда выпадала только двойка. Чтобы определить, является ли число 2 случайным, нужно изучить последовательность выходных данных генератора, в которой встречается число 2. Только так можно оценить, было ли определенное число случайным.

Хорошо. А что можно определить из последовательности чисел 1, 2, 3, 4? Числа не выглядят случайными, не так ли? Если бы у нас в распоряжении был генератор случайных чисел на основе квантового источника данных (т.е. источника, который генерирует действительно случайные события), вероятность получения приведенной последовательности, как и любой другой последовательности из четырех чисел, была бы 1:10000, т.е. исходя из теории вероятностей, последовательность повторялась бы один раз из 10000 попыток. Но в данном случае наша интуиция не помогает. Чтобы определить, является ли полученная последовательность, а, следовательно, и сам генератор, случайной, необходимо провести определенные тесты и призвать на помощь теорию вероятностей или математическую статистику.

На основе вышесказанного можно вывести определение генератора случайных чисел. Генератор случайных чисел ‑ это программа, дающая на своем выходе последовательность чисел, которая может успешно пройти статистические или вероятностные тесты на случайность. Строго говоря, программы и функции, генерирующие случайные числа, называют генераторами псевдослучайных чисел (pseudorandom number generators), чтобы отличать их от генераторов действительно случайных чисел, которые основаны на определенного рода случайных событиях, происходящих на квантовом уровне. (Современные теории утверждают, что квантовые события происходят случайным образом. Время распада радиоактивного атома нельзя предсказать;

можно говорить только об определенном периоде времени, который можно оценить путем наблюдения за распадом большого количества атомов.)

Какие тесты необходимо выполнить над последовательностью чисел, чтобы определить, случайны они или нет? Все тесты такого рода будут статистическими по своей природе;

за счет наблюдения за большим количеством событий можно сделать вывод о наличии или отсутствии в данных статистических комбинаций. Один из самых простых тестов заключается в группировке чисел из последовательности. Пусть, например, имеется последовательность однозначных чисел, которую требуется проверить на случайность. Разбиваем последовательность на категории, вычисляя количество нулей, единиц, двоек и т.д. Для случайной последовательности ожидаемое количество появлений каждого числа будет примерно равно одной десятой общего количества чисел в последовательности. Так, в последовательности из 1000 случайных однозначных чисел будет содержаться примерно 100 нулей, 100 единиц, 100 двоек и т.д. до девяток. Конечно, количество вхождений каждого числа не будет в точности равно 100, но будет достаточно близко от ожидаемого значения.

"Ожидать", "примерно", "около". Такие слова не вселяют уверенности в том, что используемые нами тесты дают объективные, а не субъективные результаты. В конце концов, если при подсчете нулей было получено, например, значение 110, для одного человека это может быть вполне приемлемым, но для другого совершенно неприемлемым.