§88 Поле електричного диполя [5]

Електричним диполем називається система двох точкових зарядів та , відстань між якими мала у порівнянні з відстанями до тих точок, у яких розглядається поле системи. Орієнтацію диполя в просторі можна задати за допомогою вектора , який проведено від заряду до заряду . Диполь характеризується дипольним моментом, який за визначенням дорівнює ( ). Прикладом диполя може служити молекула. Дипольний момент являє собою важливу характеристику молекули.

1. Знайдемо потенціал електричного поля диполя . Обчислимо потенціал поля в точці , положення якої відносно центра диполя визначається полярними координатами й (див. рис. 88.1). Використовуючи теорему косинусів, неважко знайти відстані від точки до додатного заряду та до від’ємного заряду

,

.

Тут використано, що оскільки , то . Тоді для потенціалу в точці отримуємо

. (88.1)

У виразі (88.1) ми знехтували у знаменнику другим доданком через те, що .

Рисунок 88.1

При вираз (88.1) дорівнює нулю. Таким чином, площина, яка перпендикулярна до осі диполя й проходить через його центр, є еквіпотенціальною поверхнею. Це випливає також з того, що точки цієї площини знаходяться на однаковій відстані від протилежних за знаком зарядів, модуль яких однаковий.

З виразу (88.1) випливає, що потенціал поля диполя визначається модулем векторної величини

, (88.2)

яка є дипольним моментом. Для обчислення поля диполя немає необхідності знати й окремо; достатньо знати їх добуток, тобто дипольний момент.

З рис. 88.1 випливає, що є кутом між вектором , тобто моментом диполя , і радіус-вектором , який визначає положення точки відносно центра диполя. Тому формулі (88.1) можна надати вигляд

. (88.3)

2. Знайдемо напруженість електричного поля диполя. Для цього подамо потенціал диполя (формула (88.3)) у вигляді

(88.4)

і використаємо зв’язок електричного поля з потенціалом

. (88.5)

Як відомо з математики, оператор набла для полярних координат має вигляд

. (88.6)

Рисунок 88.2

Далі підставляємо (88.4) у (88.5) з урахуванням (88.6) і отримуємо

,

де

,

.

Орти та відповідні компоненти вектора напруженості електричного поля зображені на рис. 88.2. Модуль вектора напруженості електричного поля знайдемо, використовуючи, що ,

(88.7)

Звідси,

. (88.8)

§89 Потік вектора. Теорема Гаусса для вектора напруженості електричного поля [9]

1. Поняття потоку вектора є одним з найважливіших понять векторного аналізу. Воно використовується при формулюванні властивостей електричного, магнітного й інших векторних полів.

Рисунок 89.1

Спочатку це поняття було введено в гідродинаміці. Розглянемо у полі швидкостей рідини малу площу , яка перпендикулярна до вектора швидкості рідини (рис. 89.1). Об'єм рідини, що протікає через цю площадку за час , дорівнює . Якщо площадка нахилена до потоку, то відповідний об'єм буде , де – кут між вектором швидкості й нормаллю до площини (див. рис. 89.1). Об'єм рідини, що протікає через площадку за одиницю часу, отримаємо діленням цього виразу на . Він дорівнює , тобто скалярному добутку вектора швидкості на вектор площі . Одиничний вектор нормалі до площі можна провести у двох прямо протилежних напрямках. Один з них умовно береться за додатний. У цьому напрямку й проводиться нормаль . Та сторона площадки, з якої виходить нормаль , називається зовнішньою, а протилежна до зовнішньої – внутрішньою. Якщо поверхня не є нескінченно малою, то при обчисленні об'єму рідини, що протікає за одиницю часу, цю поверхню потрібно розбити на нескінченно малі площі , а потім обчислити інтеграл по всій поверхні .

Вирази типу або зустрічаються в найрізноманітніших питаннях фізики й математики. Ці вирази мають сенс незалежно від конкретної фізичної природи вектора . Співвідношення називають потоком вектора через поверхню . Виходячи з цього визначення, інтеграл називають потоком вектора напруженості електричного поля , .

Припустимо, що вектор можна подати геометричною сумою

.

Помноживши це співвідношення скалярно на й проінтегрувавши по поверхні , отримаємо

, (89.1)

де – потоки векторів через ту ж саму поверхню. Таким чином, з того факту, що вектори складаються геометрично, випливає, що їх потоки через ту ж саму поверхню складаються алгебраїчно.

Рисунок 89.2

2. Перейдемо до доведення найважливішої теореми електростатики – теореми Гаусса. Вона визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню . За додатну нормаль до поверхні візьмемо зовнішню нормаль, тобто нормаль, яка направлена назовні (рис. 89.2). Припустимо спочатку, що електричне поле створюється одним точковим зарядом . На поверхні це поле визначається виразом

. (89.2)

Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли поверхня S є сферою, а точковий заряд q розміщено в її центрі. Потік вектора через елементарну площадку цієї сфери дорівнює

(тут див. рис. 89.2), а потік через всю сферу

(тут ). Поверхня сфери дорівнює , тому потік вектора через замкнену поверхню дорівнює

. (89.3)

Рисунок 89.3

Покажемо тепер, що результат (89.3) не залежить від форми поверхні , що оточує заряд . Візьмемо довільну елементарну площадку з встановленим на ній додатним напрямком нормалі (рис. 89.3). Потік вектора через цю площу буде дорівнювати

,

де – проекція площі на площину, яка перпендикулярна до радіуса . Використовуючи вираз для напруженості електричного поля точкового заряду (89.2), отримаємо . Величина є тілесний кут , під яким із точки знаходження заряду q видно площу , а отже, і площу . Домовимося вважати його додатним, якщо площа повернена до внутрішньою стороною, і від’ємною у протилежному випадку. Тоді

. (89.4)

Потік через довільну скінченну поверхню знайдемо інтегруванням цього виразу за . Заряд q не залежить від положення площадки , тому , або

, (89.5)

де – тілесний кут, під яким із точки знаходження заряду видно поверхню .

Якщо поверхня замкнена, то потрібно розрізняти два випадки.

Рисунок 89.4

Випадок 1. Заряд лежить усередині простору, який оточено поверхнею (рис. 89.4). У цьому випадку тілесний кут охоплює всі напрямки в просторі, тобто дорівнює , а тому формула (89.5) переходить в (89.3).

Випадок 2. Заряд лежить поза простором, який оточено поверхнею (рис. 89.5). У цьому випадку потік завжди можна подати як (див. рис. 89.5)

Потоки та , як випливає з (89.4) та рис. 89.5, рівні за модулем та протилежні за знаком. Тому

.

Рисунок 89.5

Зрозуміло, що в цьому випадку і повний потік напруженості електричного поля заряду , який лежить поза простором, який оточено поверхнею , дорівнює нулю.

Припустимо, що поле є суперпозицією полів точкових зарядів . За теоремою, що була доведена вище, потік вектора дорівнює сумі потоків векторів . Якщо заряд оточений замкненою поверхнею , то його потік через цю поверхню буде дорівнювати (див. (89.5), (89.3)). Якщо ж заряд лежить поза простором, який оточено поверхнею , то його потік дорівнює нулю. У результаті отримуємо дуже важливе співвідношення:

, (89.5)

яке називають електростатичною теоремою Гаусса. Ця теорема стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів , які оточені цією поверхнею, поділену на . Заряди, які розміщені у зовнішньому просторі відносно цієї поверхні, на величину потоку не впливають.

При доведенні вважалось, що всі заряди точкові. Але це обмеження легко зняти, тому що будь-який заряд можна подати як сукупність точкових зарядів.