Тема 6 Механіка рідин §34 Методи Лагранжа та Ейлера для опису течії рідини. Трубка течії [4,14]

1. Для опису руху рідин і газів їх поділяють (аналогічно методиці вивчення твердих тіл) на окремі елементи (частинки рідини) так, щоб кожний з них можна було вважати матеріальною точкою і застосувати до неї загальні закони механіки. Про рух рідин і газів в цілому можна скласти уявлення, якщо простежити за рухом кожної їх частинки окремо. Такий метод вивчення руху рідин і газів, запропонований Лагранжем, зводиться до знаходження траєкторії кожного елемента рідини (газу) і його швидкості як функції часу і називається методом Лагранжа.

Інший метод вивчення руху рідин і газів запропонував Ейлер. За цим методом (метод Ейлера) замість дослідження руху кожного елемента рідини або газу, зокрема, визначають швидкість у кожній точці потоку в різний час; ця швидкість відноситься не до певної частинки, а до будь-якої частинки, що проходить через дану точку простору. Зрозуміло, що коли буде знайдено розподіл швидкостей у потоці й характер зміни його в часі, то потік рідини або газу стане цілком визначеним. Інакше кажучи, за методом Ейлера потік рідини або газу задається полем векторів швидкості .

Рисунок 34.1 – Лінії течії проводяться так, щоб вектор у кожній точці простору був направленим за дотичною до відповідної лінії

2. Сукупність векторів , заданих для всіх точок простору, називається полем вектора швидкості. Це поле можна наочно зобразити за допомогою ліній течії (рис. 34.1). Лінію течії можна провести через будь-яку точку простору. Якщо побудувати всі уявні лінії течії, вони зіллються. Тому для наочного уявлення течії рідини будують лише частину ліній, вибираючи їх так, щоб густина ліній течії чисельно дорівнювала модулю швидкості в даному місці. Тоді за картиною ліній течії можна судити не тільки про напрямок, але й про модуль вектора у різних точках простору. Наприклад, у точці на рис. 34.1 густина ліній, а отже, й модуль швидкості є більшими, ніж у точці . Оскільки різні частинки рідини можуть проходити через дану точку простору з різними швидкостями, то картина ліній течії, в загальному випадку, увесь час змінюється. Якщо швидкість, у кожній точці простору залишається постійною, то такий потік рідини називається стаціонарним. У стаціонарному потоці будь-яка частинка рідини проходить через дану точку простору з однієї й тією же швидкістю . Картина ліній стаціонарного потоку залишається незмінною, і лінії течії в цьому випадку збігаються із траєкторіями частинок.

3. Якщо через всі точки невеликого замкненого контура провести лінії течії, утвориться поверхня, яку називають трубкою течії. Вектор буде дотичним до поверхні трубки течії у кожній її точці. Це означає, що частинки рідини при своєму русі не перетинають стінок трубки течії.

§35 Теорема про нерозривність потоку [4]

Рисунок 35.1

1. Розглянемо трубку течії, досить тонку для того, щоб у всіх точках її поперечного перерізу швидкість частинок була однаковою (рис. 35.1). При стаціонарній течії трубка течії подібна до стінок твердої труби. Тому через перетин пройде за час об’єм рідини, який дорівнює , маса якого . На рис. 35.1 зображені два перетини дуже тонкої трубки течії – і . Через ці перетини за час пройдуть маси рідини та . У стаціонарному потоці ці маси рідини або газу повинні бути однаковими: . Інакше між перерізами та кількість речовини весь час збільшувалася б або зменшувалась і не існувало б стаціонарного потоку. Тому з рівності мас знаходимо

. (35.1)

Розрахунки показують, що в стаціонарному потоці змінами густини не тільки рідини, а й газу можна знехтувати, тобто . Тоді рівність (35.1) можна записати так:

. (35.2)

Рисунок 35.2 – Під час руху у трубці, яка звужується, швидкість частинок зростає – частинки рухаються прискорено

Рівність (35.2) є справедливою для будь-якої пари довільно взятих перетинів. Отже, для нестисливої рідини для стаціонарного потоку добуток у будь-якому перетині даної трубки течії має однакове значення:

. (35.3)

Це твердження називають теоремою про нерозривність потоку.

Зі співвідношення (35.3) випливає, що у випадку трубки течії, в якій змінюється її перетин, частинки рідини в різних точках трубки рухаються з різними швидкостями, тобто із прискоренням (рис. 35.2). Якщо трубка течії горизонтальна, це прискорення може бути обумовлено тільки зміною тиску уздовж трубки – у місцях, де швидкість більше, тиск повинен бути менше, і навпаки.