§32 Відцентрова сила інерції [4]

Рисунок 32.1 – Кулька може переміщуватися тільки уздовж радіуса диска, ковзаючи без тертя по тонкому стержню

1. Розглянемо поведінку тіл у неінерціальній системі відліку , яка обертається відносно інерціальної системи з постійною кутовою швидкістю (поступальна складова руху відсутня). Прикладом може служити система, яка пов'язана з каруселлю. Закріпимо на диску радіальну направлений стержень, на який надінемо кульку, яка «прив'язана» до осі диска пружиною (рис. 32.1). Доки диск не обертається, пружина не деформована. При розкручуванні диска кулька розтягує пружину доти, поки пружна сила не стане такою, що дорівнює добутку маси кульки на його нормальне прискорення ; тут – вектор, який проведено до кульки від центра диска вздовж його радіуса, модуль  дає відстань кульки від осі обертання системи :

. (32.1)

Саме сила пружності є причиною, що кулька рухається по колу радіуса .

Відносно системи відліку , яка пов'язана з диском, кулька знаходиться у стані спокою. Це можна формально пояснити тим, що в системі , крім сили , на кульку діє сила інерції

, (32.2)

яка направлена уздовж радіуса від осі обертання диска.

Сила , яка має вигляд (32.2) називається відцентровою силою інерції. Вона виникає в системах відліку, які обертаються, й не залежить від того, знаходиться у стані спокою тіло в цій системі або рухається відносно неї зі швидкістю . Це випливає з того, що не входить у формулу (32.2).

2. Внаслідок добового обертання Земля подібна гігантському диску (точніше, кулі), який обертається. Тому, розглядаючи поведінку тіл у системі відліку, що пов'язана з Землею, потрібно при точних розрахунках ураховувати відцентрову силу інерції. Ця сила максимальна на екваторі, де =6,38∙10⁶ м. За добу, тобто за 86 400 с, Земля повертається на кут . Отже, кутова швидкість Землі

рад/с.

Відповідно до формули (32.2) модуль відцентрової сили інерції, що діє на екваторі на тіло маси  = 1 кг, дорівнює

Н,

що становить 1/291 частину сили ваги , яка дорівнює 9,81 Н. Звідси випливає, що в ряді випадків, розглядаючи рух тіл відносно Землі, відцентровою силою інерції можна знехтувати.

§33 Сила Коріоліса [4]

1. Раніше ми розглядали тіла, які були нерухомими відносно системи відліку, яка обертається. Виявляється, коли тіла рухаються відносно таких систем відліку, то на них крім відцентрової сили інерції діє ще одна сила інерції, яка називається силою Коріоліса. Знайдемо явний вигляд цієї сили.

а б

Рисунок 33.1 – Частинка маси рухається на диску, який обертається, по колу радіуса зі швидкістю відносно диска ( – сила натягу нитки; – нормаль, яка направлена уздовж нитки). Напрямок і напрямок обертання диска: – збігаються, – протилежні. Праворуч від дисків показані напрямки швидкостей, під диском – напрямки сил

Розглянемо горизонтально розміщений диск, який обертається відносно інерціальної системи відліку (яку ми будемо називати нерухомою) з постійною кутовою швидкістю (рис. 33.1). Припустимо, що по колу радіуса рівномірно рухається прив'язана ниткою до осі диска матеріальна точка (частинка) масою зі швидкістю відносно диска.

Лінійна швидкість точок кола диска дорівнює , швидкість частинки відносно диска дорівнює . Тоді у випадку, зображеному на рис. 33.1а, швидкість частинки відносно нерухомої системи має модуль, що дорівнює . Тому прискорення частинки в нерухомій системі

. (33.1)

Доданок є прискоренням частинки відносно диска, тобто в системі відліку, що обертається. Тут – одиничний вектор, який є нормальним (перпендикулярним) до траєкторії руху (див. рис. 33.1). Добуток маси частинки на дає силу натягу нитки , яка є причиною такого руху. Отже, можна написати, що

.

Звідси

. (33.2)

Проаналізуємо праву частину формули (33.2). Спостерігач, який знаходиться на диску, помітить, що крім «реальної» сили на частинку діють дві додаткові сили, які направлені від осі обертання. Перша з них дорівнює і є знайомою нам відцентровою силою інерції . Друга, що дорівнює , може бути подана у вигляді

. (33.3)

Дійсно, модуль векторного добутку дорівнює (кут між векторами й є прямим), а його напрямок є протилежним до напрямку . Сила інерції, що описується формулою (33.3), називається силою Коріоліса.

У випадку, який зображено на рис. 33.1б, модуль швидкості дорівнює , коли , або , коли . Квадрат обох виразів однаковий і дорівнює . Відповідно у формулах (33.1) і (33.2) доданок, що містить добуток змінить знак на зворотний так, що друга додаткова сила буде дорівнювати . Легко переконатися в тому, що й у цьому випадку друга додаткова сила може бути подана формулою (33.3).

2. Ми отримали формулу (33.3) для випадку, коли швидкість частинки направлена за дотичною до кола із центром на осі обертання системи . Можна показати, що ця формула визначає силу Коріоліса при будь-якому напрямку швидкості відносно осі обертання. З формули випливає, що у випадку, коли частинка рухається в неінерціальній системі паралельно осі обертання ( є паралельною до ), сила Коріоліса не виникає.

Векторний добуток є перпендикулярним до обох співмножників. Тому з формули (33.3) випливає, що:

1) сила Коріоліса перпендикулярна до вектора , тобто завжди лежить у площині, яка перпендикулярна до осі обертання рухомої системи відліку;

2) сила Коріоліса перпендикулярна до швидкості й, отже, роботи над частинкою не виконує. Ця сила може змінити тільки напрямок швидкості , але не її модуль.

3. Сила Коріоліса впливає на рух тіл поблизу земної поверхні. При вільному падінні сила Коріоліса відхиляє тіла. Це відхилення пропорційно синусу широти місцевості й, отже, максимально на екваторі й дорівнює нулю на полюсах. При падінні на екваторі з висоти 30 м (така приблизно висота десятиповерхового будинку) відхилення становить 3,6 мм.

Силу Коріоліса необхідно враховувати при виконанні пострілів на далекі відстані й уводити відповідні поправки.

Сила Коріоліса, що діє на тіло, яке рухається уздовж меридіана в будь-якому напрямку (на північ або на південь), направлена відносно напрямку руху вправо в північній півкулі й вліво в південній півкулі. Це приводить до того, що у ріки підмивається завжди правий берег у північній півкулі й лівий берег у південній півкулі.