§66 Класична теорія теплоємності ідеального газу [4]

1. Молекулярно-кінетична теорія дозволяє знайти теплоємність ідеального газу. Як відомо, молекули ідеального газу не взаємодіють між собою (крім відносно рідких зіткнень молекул одна з одною). Тому внутрішню енергію одного моля ідеального газу можна знайти, помноживши середню енергію однієї молекули на число молекул в одному молі (сталу Авогадро ). Як відомо, середня енергія однієї молекули дорівнює

,

де

(66.1)

є сумою поступальних, обертальних та подвоєного числа коливальних ступенів вільності молекули.

Тоді енергія одного моля ідеального газу буде дорівнювати

. (66.2)

Тут використали, що універсальна газова стала пов’язана зі сталою Больцмана .

Відомо, що молярна теплоємність при сталому об’ємі визначається співвідношенням

.

Підставляємо в цю формулу (66.2) й отримуємо вираз молярної теплоємності ідеального газу при сталому об'ємі

. (66.3)

Відповідно до рівняння Майєра

. (66.4)

З формул (66.3) і (66.4) випливає, що

. (66.5)

Таким чином, значення теплоємностей , та сталої адіабати визначається числом і характером ступенів вільності молекул ідеального газу (див. формулу (66.1)).

2. Порівняємо теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати.

Розглянемо одноатомні гази. Експеримент для гелію та аргону при  К дає такий результат

, .

Молекула одноатомного газу має лише три поступальні ступені вільності ( , , ). Тобто =3. Тоді з формули (66.5) знаходимо теоретичне значення для одноатомних газів

.

Бачимо, що теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати є дуже близькими, але вони не збігаються між собою.

Розглянемо двоатомні гази. Експеримент для водню, азоту та кисню при  К дає такий результат

, , .

Якщо ці молекули вважати двоатомними молекулами з жорстким зв’язком, то вони мають три поступальні та дві обертальні ступені вільності ( ). Тобто =5. Тоді з формули (66.5) знаходимо теоретичне значення для двоатомних молекул з жорстким зв’язком

.

Бачимо, що і в цьому випадку теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати є дуже близькими, але вони не збігаються між собою.

Рисунок 66.1

Особливо разючим стає розбіжність між теорією й експериментом, якщо звернутися до рис. 66.1, на якому показана залежність водню від температури. При низьких температурах двоатомний водень веде себе як одноатомний газ з трьома поступальними ступенями вільності , . При більш високій температурі (кімнатні температури) наче «вмикаються» обертальні ступені вільності й , . При ще більшій температурі «вмикається» ще і коливальна ступінь вільності й , . Класична теорія цю температурну залежність пояснити не може.

Розходження теорії та експерименту пояснюється тим, що ньютонівська механіка стає невірною при застосуванні до об’єктів, розміри яких порівняні з розмірами атомів. Ці об’єкти описуються квантовою механікою. Саме квантова теорія теплоємності повністю узгоджується з експериментом.

Тема 10 Другий закон термодинаміки §67 Будова і принцип дії теплової машини. Коефіцієнт корисної дії теплової машини [8]

1. Перший закон термодинаміки не дає ніякої інформації відносно напрямку, у якому можуть відбуватися процеси в природі. Для ізольованої системи, наприклад, перший закон вимагає тільки, щоб для всіх процесів енергія системи залишалася сталою. Якщо 1 і 2 – два стани такої системи, то перший закон нічого не може сказати, чи буде система переходити зі стану 1 у стан 2, або зі стану 2 у стан 1. Взагалі, на підставі першого закону не можна з'ясувати, чи будуть в ізольованій системі відбуватися будь-які процеси.

Другий закон термодинаміки, навпаки, дозволяє з’ясувати напрямки процесів, які можуть відбуватися в природі. Але цим значення другого закону не вичерпується. Другий та перший закони термодинаміки встановлюють дуже багато точних кількісних співвідношень між різними макроскопічними параметрами тіл, що знаходяться у стані термодинамічної рівноваги.

Рисунок 67.1

2. Щоб перейти до формулювання другого закону термодинаміки, дотримуючись історичного ходу ідей, розглянемо схематично роботу теплової машини. Саме проблеми створення ефективних теплових машин послужили потужним поштовхом до розвитку термодинаміки.

Тепловою машиною (двигуном) називається періодично працюючий двигун, який виконує роботу за рахунок теплоти, що надходить до нього ззовні. Довільна теплова машина складається з трьох складових частин (див. рис. 67.1): робочого тіла, нагрівача та холодильника. Працює теплова машина таким чином. Для визначеності будемо вважати, що робочим тілом є газ, який знаходиться в циліндрі з поршнем. Будемо вважати, що початковий стан робочого тіла на діаграмі зображується точкою 1 (див. рис. 67.2). Приведемо робоче тіло в тепловий контакт із нагрівачем, тобто тілом, температура якого вище температури газу в циліндрі. Газ буде нагріватися й розширюватися – цей процес зображений кривою 1 2. Робоче тіло отримає від нагрівача теплоту й виконає додатну роботу . Згідно першого закону термодинаміки можемо записати

. (67.1)

Рисунок 67.2

Тепер треба повернути робоче тіло у вихідне положення (теплова машина – періодично діючий механізм), тобто стиснути газ. Це треба зробити так, щоб робота , яка витрачається на стиснення, була меншою за . З цією метою приведемо робоче тіло в тепловий контакт із холодильником, тобто тілом, температура якого нижче температури газу в циліндрі, і стиснемо газ по шляху 2 1. У результаті газ повернеться у вихідний стан 1. При цьому він віддасть холодильнику кількість теплоти . Згідно першого закону термодинаміки

. (67.2)

Звідси, використовуючи (67.1), отримуємо

. (67.3)

Таким чином, теплова машина виконала круговий процес, у результаті якого нагрівач віддав кількість теплоти , холодильник отримав кількість теплоти , пішло на виконання роботи . Відношення

(67.4)

називається коефіцієнтом, або коефіцієнтом корисної дії (ККД) теплової машини. Зрозуміло, що коефіцієнт корисної дії теплової машини, як це випливає з визначення, не може перевищувати одиниці.