§64 Політропічні процеси. Показник політропи. Рівняння політропи [4]

1. Політропічними (політропними) називаються процеси, у ході яких теплоємність тіла залишається сталою. Отже, при політропічному процесі газ, крім рівняння стану, підкоряється додатковій умові

. (64.1)

Знайдемо рівняння політропи для ідеального газу. Для цього використаємо рівняння стану та перший закон термодинаміки.

У відповідності до першого закону термодинаміки маємо

.

Використовуючи визначення молярної теплоємності газу можемо записати, що . Тоді перший закон термодинаміки набире вигляду

або . (64.2a)

З рівняння стану (Менделєєва-Клапейрона ) випливає, що

. (64.2b)

Помножимо рівняння (64.2b) на і за допомогою його виключимо з останнього рівняння (64.2a) доданок з . у результаті отримаємо

,

звідки

.

Розділимо це рівняння на й врахуємо, що . У підсумку отримаємо

. (64.3)

Уведемо величину

, (64.4)

яка називається показником політропи. Тоді рівнянню (64.3) можна надати вигляду

або . (64.5)

Інтегруємо праву й ліву частини останнього рівняння (64.5) аналогічно, як і у випадку адіабатичного процесу й отримуємо:

. (64.6)

Рівняння (64.6) і є рівнянням політропи ідеального газу в змінних й .

Аналогічно, як і у випадку адіабатичного процесу, використовуючи рівняння стану, отримуємо рівняння політропи в змінних й :

, (64.7a)

та рівняння політропи у змінних та :

або . (64.7b)

2. Ізотермічний, ізохоричний, ізобаричний, адіабатичний процеси можна вважати політропічними процесами з відповідним показником політропи. При цьому рівняння політропи для цих процесів переходять у відповідні рівняння ізопроцесів. Покажемо це.

У випадку ізобаричного процесу молярна теплоємність газу

.

Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

.

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння ізобари

.

У випадку ізохоричного процесу молярна теплоємність газу

.

Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

.

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння ізохори

.

У випадку ізотермічного процесу молярна теплоємність газу

.

Це узгоджується з тим, що передача тілу кількості теплоти не приводить до зміни температури: . Показник політропи для цього процесу буде дорівнювати

.

При цьому рівняння політропи (64.7а) переходить у рівняння ізотерми

.

У випадку адіабатичного процесу молярна теплоємність газу

.

Це узгоджується з тим, що адіабатичний процес, за визначенням, протікає без теплопередачі ( ).Для цього процесу показник політропи, як це випливає з співвідношення (64.4), дорівнює

.

При цьому рівняння політропи (64.6) переходить у рівняння адіабати

.

§65 Робота, що виконується газом при ізопроцесах [4]

1. Знайдемо роботу, яку виконує газ при ізотермічному, ізобаричному, ізохоричному та адіабатичному процесах. Для цього використаємо співвідношення, яке визначає роботу при будь-якому процесу

, (65.1)

де й – об'єм газу в початковому й кінцевому станах. Далі знайдемо, як у кожному з різних ізопроцесів тиск залежить від об’єму , обчислимо інтеграл (65.1) і знайдемо шукану роботу.

2. Розглянемо ізохоричний процес. У цьому разі , й інтеграл (65.1) дорівнює нулю. Таким чином, для ізохоричного процесу . Це справедливо не тільки для ідеального газу, але й взагалі для всякого тіла.

3. Розглянемо ізобаричний процес. Тут тиск залишається сталим. Тому його можна винести у формулі (65.1) за знак інтеграла. У результаті отримуємо для ізобаричного процесу

. (65.2)

Ця формула є справедливою також для будь-якого тіла.

4. Розглянемо ізотермічний процес. У цьому випадку знайдемо залежність тиску від об’єму за допомогою рівняння Менделєєва-Клапейрона . Підставивши цю функцію у формулу (65.1) і взявши до уваги, що при ізотермічному процесі , знаходимо

.

Таким чином, робота, яка виконується ідеальним газом при ізотермічному процесі, визначається формулою

. (65.3)

5. Розглянемо адіабатичний процес. Роботу, яка виконується газом при адіабатичному процесі, можна знайти декількома способами. У першому способі можна за допомогою рівняння адіабати знайти залежність тиску від об’єму ( , ), підставити цю залежність в (65.1) і знайти шукану роботу . У другому способі використаємо перший закон термодинаміки, візьмемо до уваги, що для адіабатичного процесу . Тоді

(65.4)

або

.

Підставивши вираз для внутрішньої енергії в цю формулу, знаходимо роботу ідеального газу при адіабатичному процесі

.

Напишемо цю формулу у вигляді

.

Використаємо рівняння Пуассона для адіабатичного процесу . Тоді остаточно

. (65.5)

З рівняння стану випливає, що . Зробивши таку заміну, отримаємо ще один вираз для роботи, яка виконується ідеальним газом при адіабатичному процесі:

. (65.6)

6. Розглянемо політропічний процес. Через те, що формули політропічного процесу подібні формулам для адіабатичного процесу, в яких потрібно сталу адіабати замінити на сталу політропи , то формули для роботи при політропічному процесі можемо отримати з (65.5) і (65.6), в яких замінимо на .