§82 Формула Лапласа. Капілярні явища. Висота піднімання й опускання рідини в капілярах [4]

Рисунок 82.1 – Тиск під плоскою (а), опуклою (б) і увігнутою (в) поверхнями рідини

1. Формула Лапласа. Прагнення поверхні рідини до скорочення приводить до того, що тиск під викривленою поверхнею рідини виявляється іншим, ніж під плоскою поверхнею. Під опуклою поверхнею тиск більше, а під увігнутою менше, ніж під плоскою (рис. 82.1). У випадку увігнутої поверхні поверхневий шар, прагнучи скоротитися, розтягує рідину.

Рисунок 82.2 – Дві півкулі, на які уявно розсічена кругла крапля рідини, притискаються одна до одної силами поверхневого натягу	Рисунок 82.3 – Радіуси кривизни двох взаємно перпендикулярних нормальних перетинів сідлоподібної поверхні мають протилежні знаки

Додатковий тиск, обумовлений викривленням поверхні, повинен бути пропорційним поверхневому натягу й кривизні поверхні. Обчислимо додатковий тиск для сферичної поверхні рідини. Розсічемо уявно сферичну краплю рідини радіуса площиною на дві півкулі (рис. 82.2). Через поверхневий натяг поверхневі шари півкуль притягуються один до одного із силою

( – довжина границі поверхневих шарів півкуль). Ця сила притискає півкулі одна до одної по поверхні площею й, отже, зумовлює додатковий тиск

. (82.1)

Кривизна сферичної поверхні всюди однакова й береться такою, що дорівнює . Для характеристики довільної поверхні вводиться поняття середньої кривизни, яке визначається через кривизну нормальних перетинів. Нормальним перетином поверхні в деякій точці називається лінія перетину цієї поверхні із площиною, що проходить через нормаль до поверхні в розглянутій точці. Для сфери будь-який нормальний перетин є коло. У загальному випадку різні нормальні перетини, що проходять через одну і ту саму точку, мають різний радіус кривизни. У геометрії доводиться, що напівсума зворотних радіусів кривизни

(82.2)

для будь-якої пари взаємно перпендикулярних нормальних перетинів має одне і теж значення. Ця величина і є середньою кривизною поверхні в даній точці. Легко зрозуміти, що середня кривизна циліндра у два рази менше кривизни сфери того ж радіуса.

Радіуси й у формулі (82.2) є алгебраїчними величинами. Якщо центр кривизни нормального перетину знаходиться під поверхнею, радіус кривизни вважається додатним. Якщо ж центр кривизни нормального перетину знаходиться над поверхнею, радіус кривизни вважається від’ємним (рис. 82.3). Таким чином, неплоска поверхня може мати середню кривизну, яка дорівнює нулю. Для цього потрібно, щоб радіуси кривизни й були однакові за модулем й протилежні за знаком.

У сфери , тому . Замінивши у виразі (82.1) через , прийдемо до формули

. (82.3)

Лаплас довів, що формула (82.3) справедлива для поверхні будь-якої форми, якщо під розуміти середню кривизну поверхні в тій точці, під якою визначається тиск. Таким чином, у загальному випадку

. (82.4)

Ця формула називається формулою Лапласа.

Рисунок 82.4 – Рідина у капілярі у випадку змочування (а) незмочування (б)

2. Капілярні явища. Поверхневий натяг приводить до того, що поблизу стінок посудини поверхня рідини викривляється (дотична до поверхні рідини утворює зі стінкою кут, який дорівнює крайовому куту, що, як правило, відмінний від ). У вузькій круглій трубці, яку називають капіляром, або у вузькому зазорі між двома стінками викривленою виявляється уся поверхня (рис. 82.4). Вигнуті поверхні рідини в капілярах називаються менісками. Якщо рідина змочує стінки капіляра, меніск має ввігнуту форму, якщо не змочує – опуклу форму.

Коли капіляр занурений одним кінцем у рідину, налиту в широку посудину, тиск під меніском відрізняється від тиску під плоскою поверхнею в широкій посудині на величину , яка обумовлена формулою (82.1). У результаті рівень рідини в капілярі при змочуванні буде вище, ніж у посудині, а при незмочуванні – нижче.

Піднімання або опускання рівня рідини у вузьких трубках одержало назву капілярності. У широкому змісті під капілярними явищами розуміють всі явища, що обумовлені поверхневим натягом. Зокрема, обумовлений формулою (82.4) тиск називається капілярним тиском.

Між рідиною в капілярі й у широкій посудині встановлюється різниця рівнів , при якій капілярний тиск урівноважується гідростатичним тиском :

, (82.5)

де радіус кривизни меніска. З рис. 82.4 бачимо, що радіус кривизни меніска й радіус капіляра пов'язані співвідношенням , де – крайовий кут. Підставивши це значення в (82.3) і розв’язавши отриману рівність відносно , прийдемо до формули

, (82.6)

де – поверхневий натяг на границі рідина – газ; – крайовий кут; – густина рідини;  – прискорення вільного падіння; – радіус капіляра.

Якщо рідина змочує стінки капіляра, кут гострий, відповідно , а отже, і додатні (рідина піднімається в капілярі). Якщо рідина не змочує стінки капіляра, то кут тупий, відповідно , а виходить, і від’ємні (рідина опускається в капілярі).

Капілярністю пояснюються багато явищ, наприклад усмоктування рідин промокальним папером і тканинами (рушниками), підняття гасу по гноту, підйом ґрунтових вод у ґрунті й ін.