§42 Перетворення Лоренца [4]

1. Розглянемо інерціальні системи відліку й , які показані на рис. 42.1. Осі та збігаються між собою, та , а також є паралельні одна одній. Візьмемо, що система рухається зі швидкістю відносно нерухомої системи . Припустимо, що в деякий момент часу в деякій точці простору відбувається деяка подія. У системі воно характеризується значеннями координат і часу , а в системі – значеннями координат і часу . Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані значення зі штрихованими.

Для розв’язання цієї задачі потрібно використати однорідність часу і простору, другий постулат СТВ. Шукані формули отримали назву перетворень Лоренца і мають такий вигляд

, (42.1)

. (42.2)

Рисунок 42.1

У цих формулах є швидкістю світла. Формули (42.1) описують перехід від системи до системи , а формули (42.2) – перехід від системи до системи . Внаслідок рівноправності систем перетворення (42.1) і (42.2) відрізняються лише знаком перед . Ця відмінність обумовлена тим, що система рухається відносно системи зі швидкістю , у той час як система рухається відносно системи зі швидкістю ( ).

У перетвореннях Лоренца «перемішані» координати й час. Наприклад, час у системі визначається не тільки часом у системі , але також і координатою . У цьому проявляється взаємозв'язок простору й часу.

2. Проведемо дослідження формул перетворень Лоренца у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли швидкості є набагато меншими за швидкість світла . Тоді можна вважати, що . Коли ми підставимо , наприклад, в (42.1), то отримаємо

, , , . (42.3)

А формули (42.3) як відомо є формулами перетворень Галілея. Таким чином, у випадку, коли перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея.

Розглянемо випадок, коли . Тоді вирази для й у формулах (42.1) і (42.2) стають уявними. Це відповідає тому факту, що рух зі швидкістю, яка перевищує швидкість світла , є неможливим.

§43 Перетворення швидкостей у спеціальній теорії відносності [4]

Рисунок 43.1

1. Знайдемо зв’язок між швидкістю частинки , що виміряна в системі відліку , та швидкістю тієї самої частинки , що виміряна в системі відліку . Вважаємо, що система рухається зі швидкістю відносно нерухомої системи (див. рис. 43.1).

Компоненти швидкості частинки в системі визначаються виразами

, , . (43.1)

У системі компоненти швидкості тієї ж частинки дорівнюють

, , . (43.2)

Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані компоненти швидкості зі штрихованими. Для цього скористуємося перетвореннями Лоренца. Із цих формул отримуємо, що

. (43.3)

Розділивши перше із цих рівностей на четверте, прийдемо до співвідношення

,

яке з урахуванням (43.1) і (43.2) можна подати у вигляді

. (43.4)

Розділивши друге й третє з рівностей (43.3) на четверте, отримаємо ще два співвідношення:

. (43.5)

Формули (43.4) та (43.5) і розв’язують поставлене завдання. Вони отримали назву формули перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

За формулами (43.4) і (43.5) здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Використавши аналогічно як і вище перетворення Лоренца, легко одержати формули

, , (43.6)

за якими здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Формули (43.6) відрізняються від формул (43.4) і (43.5), як і слід було сподіватися, тільки знаком перед  . Формули (43.6) також називаються формулами перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

2. Проведемо дослідження формул додавання швидкостей в СТВ у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли . У цій ситуації вираз і ним можна в формулах (43.4)–(43.6) знехтувати. У результаті отримуємо, наприклад, з (43.4) та (43.5)

,

формули додавання швидкостей, за допомогою яких перетворюються швидкості в ньютонівській механіці. Таким чином, коли формули додавання швидкостей у СТВ переходять у формули додавання швидкостей ньютонівської механіки.

Розглянемо випадок, коли частинка рухається паралельно осям і в напрямку швидкості (див. рис. 42.1). Тоді збігається з модулем швидкості частинки в системі , a – з модулем швидкості в системі , і формула (43.4) має вигляд

. (43.7)

Швидкості , і паралельні й направлені в одну й ту саму сторону. Отже, формула (43.7) виражає закон додавання швидкостей. Якщо , то

. (43.8)

Таким чином, формула додавання швидкостей узгоджується с другим постулатом СТВ.