§28 Робота тіла, що обертається навколо нерухомої осі [4]

1. Знайдемо роботу, яку виконують зовнішні сили під час обертання твердого тіла відносно нерухомої осі .

Позначимо зовнішню силу, що прикладена до елементарної маси , через . За час робота сили над ‑ю елементарною масою буде дорівнювати

. (28.1)

Відомо, що швидкість ‑ї елементарної маси тіла, яке обертається навколо нерухомої осі визначається співвідношенням , де – радіус-вектор, що проведений від довільної точки на осі обертання до точки з масою . Тоді (28.1) набуває вигляду

. (28.2)

Далі використаємо відоме з математики співвідношення для змішаного добутку векторів і отримаємо

. (28.3)

У цій формулі – момент сили відносно точки , – проекція вектора на напрямок вектора , – кут на який повернеться тіло за час . Результуючу роботу знайдемо як суму робіт над кожною елементарною масою

.

Позначаючи через – проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості знаходимо шукану елементарну роботу, яку виконують зовнішні сили при обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі

. (28.4)

Зазначимо, що формула (28.4) подібна до формули .

2. Розділивши роботу (28.4) на час , за яке тіло повернулося на кут , отримуємо потужність, яка розвивається зовнішніми силами:

. (28.5)

Знак потужності залежить від знаку проекції проекцію результуючого моменту імпульсу на напрямок кутової швидкості . Коли проекція від’ємна, то потужність також від’ємна. Зазначимо, формула (28.5) подібна до формули .

§29 Кінетична енергія твердого тіла за умови плоского руху [4]

1. Знайдемо кінетичну енергію твердого тіла при довільному плоскому русі. Для цього плоский рух будемо розглядати як накладення поступального руху деякої точки тіла та обертання навколо осі, що проходить через цю точку. Тверде тіло подамо як сукупність матеріальних точок. Кінетичну енергію знайдемо як суму кінетичних енергій усіх матеріальних точок твердого тіла.

Тверде тіло подамо як сукупність елементарних мас . Швидкість довільної елементарної маси подамо як накладення поступального руху зі швидкістю деякої точки тіла й обертання навколо осі, що проходить через цю точку, з кутовою швидкістю . У цьому разі, як відомо, можемо записати

, (29.1)

де – радіус-вектор -ї маси, який проведено з точки (див. рис. 29.1).

Кінетична енергія -ї елементарної маси дорівнює

.

Підведення у квадрат дає

. (29.2)

Взявши суму за всіма елементарними масами, знайдемо кінетичну енергію тіла:

.

Розіб'ємо отриманий вираз на три доданки, виносячи при цьому постійні множники за знак суми:

. (29.3)

Сума елементарних мас дасть масу тіла . Отже, перший доданок дорівнює .

Рисунок 29.1 – Вектор направлений за площину рисунка. Його модуль дорівнює

Квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля. Модуль цього вектора, як випливає з рис. 29.1, , де – відстань від ‑ї маси до осі обертання. Тому можемо записати . Отже, третій доданок у (29.3) дорівнює

,

де – момент інерції тіла відносно осі обертання, яка проходить через точку .

Другий доданок у (29.3) перетворимо таким чином:

,

де – радіус-вектор центра мас, який проведено з точки .

Таким чином, приходимо до висновку, що кінетична енергія твердого тіла визначається співвідношенням

. (29.4)

У перший доданок входять тільки величини, які характеризують поступальний рух, у третій доданок – тільки величини, що характеризують обертальний рух. Другий же доданок містить величини, що характеризують як поступальний, так і обертальний рух.

2. Коли за точку взяти центр мас тіла , то (вектор, який проведено від точки до точки ) буде дорівнювати нулю й формула для кінетичної енергії твердого тіла (29.4) спроститься таким чином:

. (29.5)

Тут – швидкість центра мас; – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас.

Таким чином, якщо розбити плоский рух тіла на поступальний зі швидкістю центра мас і обертальний навколо осі, що проходить через центр мас, то кінетична енергія розпадається на два незалежні доданки, один з яких визначається тільки величинами, що характеризують поступальний рух, а другий – тільки величинами, що характеризують обертання.