§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейным
дифференциальным уравнением
го
порядка
называется дифференциальное уравнение,
которое можно записать в следующем виде
.
(4.1)
Неизвестная
функция и все её производные входят в
это уравнение линейно. При этом функции
,
называются коэффициентами уравнения
(4.1), а функция
правой частью уравнения. Если
,
то дифференциальное уравнение (4.1)
называется линейным
однородным дифференциальным уравнением
(ЛОДУ), в
противном случае, если
,
уравнение (4.1) называется линейным
неоднородным дифференциальным уравнением
(ЛНДУ).
Для уравнения (4.1) справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1.
Пусть
коэффициенты уравнения
,
где
,
и
непрерывны на интервале
,
тогда в открытой области
дифференциальное
уравнение (4.1) обладает свойством
локальной единственности решения.
Действительно, если уравнение (4.1) записать в виде
и
правую часть этого уравнения в соответствии
с теоремой 3.1 обозначить
,
то по теореме 3.1 (Коши) уравнение (4.1)
обладает СЛЕР в области
,
если функции
непрерывны в этой области. В нашем случае
функции
непрерывны
на интервале
,
следовательно, они непрерывны и в области
,
а сама функция
,
линейная относительно аргументов
,
тоже непрерывна в
,
т.е. условия теоремы 3.1 выполнены и
линейное уравнение (4.1) обладает СЛЕР в
области
.
Обратимся к изучению линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка. Их общий вид:
(4.2)
Левую
часть уравнения (4.2)принято обозначать
.
Тогда уравнение (4.2) коротко записывается
в виде
.
Рассмотрим свойства решений уравнения (4.2).
1.
является решением уравнения (4.2).
2.
Если
и
– произвольные решения уравнения (4.2),
то и функция
является решением этого уравнения.
3.
Если
– решение уравнения (4.2), то для любой
константы
функция
тоже является решением уравнения (4.2).
4.
Если функция
,
где
- мнимая единица,
и
– действительные функции, – решение
уравнения (4.2), то действительные функции
и
– тоже решения уравнения (4.2).
Доказательства.
2.
Пусть
и
– решения уравнения
,
т.е.
и
.
Тогда
.
Исходя из свойства линейности производных, получаем:
т.е.
– решение уравнения (4.2).
3. Пусть – решение уравнения (4.2). Возьмем любую константу и вычислим
,т.е.
– решение уравнения (4.2).
4.
Пусть
,
т.е. функция
является решением уравнения (4.2). С другой
стороны, в соответствии со свойствами
2º и 3º выполняется равенство
что означает, что
и
– решения уравнения (4.2).
Следствие.
Если
– решения уравнения (4.2), а
– произвольные константы, то функция
(4.3)
является решением уравнения (4.2).
Это
следствие позволяет предположить, что
при подходяще выбранных частных решениях
уравнения (4.2) функция (4.3) является общим
решением данного
уравнения. Покажем, что это предположение
верно при условии, что
– линейно независимые решения уравнения
(4.2).
Линейная зависимость (ЛЗ) и линейная независимость (ЛНЗ) систем функций
Определение.
Система
функций
является линейно
независимой
на интервале
,
если их линейная комбинация
при
любом
только в том случае, когда все коэффициенты
.
()
В
противном случае, если в выражении ()
хотя бы один коэффициент
,
система функций называется линейно
зависимой
на интервале
.
В
этом случае из равенства ()
функция
линейно выражается через остальные
функции системы:
т.е.
система функций
– не “экономная”
(в ней присутствуют избыточные функции).
Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
Любая система функций, содержащая функцию
,
линейно
зависима.Любая система функций, содержащая две равные (пропорциональные) функции – линейно зависима.
Система, состоящая из двух функций
,
линейно
зависима в
том случае, когда
.Система функций
– линейно
независима
на любом интервале.
Система многочленов
,
где
,
– линейно независима на всем множестве
действительных чисел.
Составим линейную комбинацию этих многочленов:
(
)
Предположим,
существует хотя бы один ненулевой
коэффициент в этой линейной комбинации.
Выберем среди них такой коэффициент
,
что
.
Тогда в равенстве (
)
слева находится многочлен
,
степень которого
.
Если
,
то по основной теореме алгебры многочлен
имеет ровно
корней, считая комплексные, а значит,
число действительных корней меньше
либо равно
.
Следовательно, существует не более
действительных значений
,
для которых равенство (
)
верно, а значит, оно не может выполняться
тождественно, кроме как в случае
,
и система (5) линейно независима.
6.
Система экспонент
,
при
,
,
– линейно независима на промежутке
.
Доказательство
для случая
.
Пусть дана система функций
.
Составим
линейную комбинацию этих функций с
коэффициентами
:
.
Предположим, эта система линейно зависима.
Пусть,
например,
.
Разделим равенство на
:
.
Продифференцируем это равенство по x:
.
Разделим
полученное соотношение на
:
.
Продифференцируем это равенство по :
.
После дифференцирования по получим:
.
Произведение,
стоящее в левой части равенства отлично
от нуля. Следовательно, получено
противоречие, а значит
,
и система (6) линейно независима.
Польским математиком Юзефом Вронским был введен новый «инструмент» для исследования линейной зависимости и независимости решений дифференциальных уравнений, который был назван определителем Вронского (вронскиан).
Пусть
функции
имеют
производную на интервале
(
).
Определителем
Вронского
этой системы функций называется следующий
функциональный определитель:
.
Теорема 4.2 (необходимые условия линейной зависимости функций).
Пусть
система функций
линейно зависима на интервале
,
причем
.
Тогда определитель Вронского
для
любых
из интервала
.
Доказательство. Пусть система функций линейно зависима на интервале . Для определенности предположим, что последняя функция линейно выражается через остальные
.
Тогда
,
так как последний столбец линейно
выражается через предыдущие.
Следствие 4.3 (достаточное условие линейной независимости функций).
Если
для системы функций
на промежутке
хотя бы в одной точке, то эта система
линейно независима на указанном
промежутке.
Теорема 4.4 (необходимое условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения).
Пусть
– решения линейного однородного
дифференциального уравнения
с непрерывными на интервале
коэффициентами. Тогда если
– линейно независимая система на
интервале
,
то
ни в одной точке этого интервала.
Доказательство
(от противного).
Пусть решения
линейно независимы на интервале
.
Предположим, что существует такая точка
из интервала
,
в которой определитель Вронского
,
то есть:
.
Составим
однородную систему алгебраических
уравнений
-
ого порядка относительно переменных
с
главным определителем
,
который совпадает с определителем
Вронского в точке
:
.
(1)
Так
как главный определитель системы равен
нулю (
),
то система (1) имеет бесконечно много
решений, в том числе и ненулевые.
Пусть
- одно из таких ненулевых решений, то
есть
.
Составим функцию
.
В соответствии со свойствами решений
линейного однородного дифференциального
уравнения функция
– решение данного дифференциального
уравнения. Более того,
является решением задачи Коши:
(2)
(смотри систему (1)).
С
другой стороны, решением этой же задачи
Коши является и функция
.
Но по теореме 4.1 задача Коши для линейного
дифференциального уравнения имеет
единственное решение, то есть
,
причем, как нам известно, среди
коэффициентов
есть хотя бы один ненулевой. Это
равносильно тому, что система функций
линейно зависима на интервале
,
что противоречит условиям теоремы.
Полученное противоречие доказывает, что определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке интервала .
Теорема доказана.
Как следствие из двух последних теорем получаем теорему 4.5.
Теорема
4.5 (критерий
линейной независимости решений уравнения
).
Пусть
дано уравнение
с непрерывными на интервале
коэффициентами. Решения
этого уравнения являются линейно
независимыми на интервале
тогда и только тогда, когда определитель
Вронского для этой системы функций не
равен нулю на интервале
.
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема 4.6.
Пусть
дано линейное однородное дифференциальное
уравнение
с непрерывными на интервале
коэффициентами. Тогда в области
общим решением этого уравнения является
функция
,
где
- произвольная система из
линейно независимых на промежутке
решений дифференциального уравнения,
- произвольные константы.
Доказательство. Доказательство проводится в соответствии с определением общего решения.
Пусть
- произвольные фиксированные константы,
тогда функция
является решением данного уравнения
в силу свойств решений однородного
уравнения.
Пусть
- произвольная точка из области
.
Составим и решим систему линейных
алгебраических уравнений относительно
:
Вычислим
основной определитель
этой системы:
– определитель
Вронского для системы функций
.
Поскольку по теореме 4.5
,
то отсюда следует, что система имеет
единственное решение
,
значит, функция
задает интегральную кривую нашего
уравнения, проходящую через точку
.
Так как условия 1) и 2) из определения общего решения выполнены, то функция является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения в области . Теорема доказана.
Осталось ответить на следующий вопрос: всегда ли для линейного однородного дифференциального уравнения -ого порядка найдется n линейно независимых решений? Ответ на этот вопрос дает теорема 4.7.
Теорема 4.7.
Для любого линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными на интервале коэффициентами существует система линейно независимых решений на этом интервале (причем таких систем бесконечно много).
Определение.
Будем называть
любую совокупность
,
состоящую из
линейно независимых решений ЛОДУ (4.2),
фундаментальной
системой решений
этого уравнения (ФСР).
Исходя из теоремы (4.6) о структуре общего решения ЛОДУ, можно сделать вывод, что задача решения уравнения (4.2) равносильна задаче нахождения ФСР этого уравнения, поэтому вполне естественно, что ФСР в общем случае найти невозможно.
Рассмотрим класс ЛОДУ, для которого ФСР может быть найдена всегда, причём чисто алгебраическими методами.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Общий вид таких уравнений:
,
(4.5)
где
,
.
По методу Эйлера будем искать решение последнего уравнения в следующем виде
,
где
─
число, подлежащее определению.
Для функции найдём все производные до ─ го порядка включительно:
.
Подставляя найденные выражения в (4.5), получаем
.
Так
как
,
последнее равенство равносильно
следующему:
.
(4.6)
Уравнение (4.6) называется характеристическим уравнением для уравнения (4.5).
Заметим,
что функция
является решением уравнения (4.5), тогда
и только тогда, когда
─
корень характеристического уравнения
(4.6). Таким образом, решение линейного
однородного дифференциального уравнения
(4.5) сводится к решению алгебраического
уравнения (4.6).
Рассмотрим ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Его характеристическое уравнение имеет вид
.
(4.7)
Это
квадратное уравнение относительно
.
Обозначим его корни через
и
.
Они могут быть 1) различными действительными,
2) комплексными, 3) совпадающими
действительными.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1.
Если корни
характеристического уравнения различные
действительные, то в соответствии с
методом Эйлера решениями уравнения
(4.5) будут функции
.
Эти
решения линейно независимы
и,
следовательно, образуют ФСР. Общее
решение уравнения, исходя из теоремы
4.6, имеет вид
(
─произвольные
постоянные).
Пример.
Найти
общее решение ЛОДУ 2-го порядка
.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Оно имеет корни
.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Отсюда получаем искомое общее решение уравнения
.
2.
Пусть корни характеристического
уравнения комплексные. Так как коэффициенты
характеристического уравнения
действительные, то оба корня комплексно
сопряжённые. Пусть
.
Тогда в соответствии с методом Эйлера
функции
и
являются комплексными решениями
дифференциального уравнения (4.7).
Так
как
и
,
то
.
По
свойству
решений ЛОДУ заключаем, что функции
и
являются действительными решениями
исходного уравнения.
Убедимся
в линейной независимости
и
.
Составим линейную комбинацию этих
функций. Пусть
для
любого
.
Разделив
обе части уравнения на
,
получим
.
Следовательно,
функции
и
линейно независимы на
,
и значит, составляют ФСР данного
уравнения.
Общее решение уравнения (4.7) в рассматриваемом случае имеет вид
.
Пример.
Найти
общее решение дифференциального
уравнения
.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Оно имеет корни
,
следовательно,
и
–его
ФСР, а искомое общее решение уравнения
.
3.
Пусть теперь
корни характеристического уравнения
действительные равные
.
Одно решение
получаем сразу. Покажем, что 2-м решением,
линейно независимым с
,
будет функция
.Поскольку
–
корень характеристического уравнения
кратности 2, то он удовлетворяет следующей
системе уравнений
(**)
Дифференцируя функцию , находим:
,
.
Подставляя полученные выражения в (4.7), получаем
или
.
Исходя
из системы (**),
– решение дифференциального уравнения(4.7).
Покажем, что
– ФСР.
Таким образом, общее решение уравнения (4.7) в этом случае имеет вид
.
Пример.
Найти
общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение:
.
Следовательно,
– фундаментальная система решений.
Общее решение уравнения
.
Замечание.
Для линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
порядка
фундаментальная система решений
формируется аналогичным способом.
Пример.
Найти общее решение уравнения 5-го порядка
.
Характеристическое
уравнение:
,
где
– простой, действительный корень
,
– кратный,
комплексный корень
,
,
– кратный,
комплексный корень
,
.
Можно показать, что все найденные частные решения образуют линейно независимую систему, следовательно, составляют фундаментальную систему решений данного уравнения, а функция
является общим решением данного уравнения.