Глава 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля (ж.А.Черняк, а.А. Карпук, в.А. Ранцевич) §1. Двойной интеграл. Определение и свойства

Пусть на плоскости задана область , в каждой точке которой определена функция

Рассмотрим алгоритм, приводящий к понятию двойного интеграла.

1. Разобьем область на частей , в соответствии с условиями:

1а) ;

1б) любые две элементарные части не имеют общих внутренних точек.

Получено разбиение области . Найдем диаметр каждой элементарной области :

.

2) В каждой области произвольным образом выберем точку Получим набор промежуточных точек . Вычислим значение

3) Вычислим произведения , где - площадь элементарной области (по условию предполагается, что область - квадрируемая, то есть имеет площадь.) Просуммируем полученные произведения и обозначим сумму

Составленная сумма называется интегральной суммой для функции по области , определенной для разбиения и набора промежуточных точек .

4) Вычислим диаметр разбиения : .

Рассмотрим процесс, при котором диаметр , то есть область при этом будет неограниченно измельчаться. Если существует конечный , который не зависит ни от разбиения , ни от набора промежуточных точек , то этот предел называют двойным интегралом от функции по области и обозначают:

, где

- знак двойного интеграла,

- область интегрирования,

- подинтегральная функция,

- дифференциал площади.

Замечание:

При условии существования двойного интеграла способ разбиения области на элементарные части роли не играет, поэтому в ПДСК принято разбивать область интегрирования на элементарные части координатными линиями: ,

В этом случае - элементарный прямоугольник (бесконечно малый); - площадь прямоугольника : . При

Поэтому в ПДСК двойной интеграл принято записывать:

.

Геометрический смысл двойного интеграла (объем цилиндрического бруса).

Определение:

Цилиндрическим брусом называется пространственное тело, основанием которого является плоская область , лежащая в координатной плоскости , ограниченная с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , ограниченная сверху поверхностью с уравнением , .

Разобьем область на частей , не имеющих общих внутренних точек. В каждой элементарной области выберем произвольным образом точку и вычислим в ней значение функции ,

Представим тело как объединение элементарных столбиков с основаниями : , каждый из которых имеет объем Ввиду малости области столбик приближенно можно считать цилиндром с основанием , площадью основания и высотой Тогда

- интегральная сумма для функции по области .

Если интегрируема по области то, с одной стороны,

а с другой стороны, точному значению объема тела . Поэтому, если и интегрируема по области , то двойной интеграл объему цилиндрического бруса - геометрический смысл двойного интеграла.

Пример. Исходя из геометрического смысла, вычислить значение двойного интеграла

где область G задается неравенством:

Для нахождения интеграла определим вид поверхности, ограничивающей цилиндрический брус сверху.

Эта система определяет верхнюю полусферу с центром в точке и радиусом . В соответствии с геометрическим смыслом двойного интеграла он равен сумме объемов цилиндра с основанием G и высотой H=4 и половине объема шара радиусом 1.

Физический смысл двойного интеграла.

Пусть задана плоская материальная пластинка c поверхностной плотностью .

Покажем, что в этом случае двойной интеграл будет выражать массу этой пластинки

Разобьем пластинку на элементарных частей Ввиду малости элементарной области , ее можно считать однородной с плотностью , где .

Тогда масса всей пластинки , где площадь элементарной области ,

Пусть ∆ - диаметр разбиения, то есть ∆ , где диаметр области .

При ∆ , а с другой стороны эта же сумма стремится к числу , где масса пластинки. Следовательно, если функция

интегрируема по области , то масса пластинки G выражается формулой . В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Теорема 1.1 (условие интегрируемости функции по области )

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой плоской области , границей которой являются гладкие кривые, тогда функция интегрируема по этой области, то есть существует двойной интеграл по области . (Ограниченную замкнутую область пространства будем называть компактом).