§9. Элементы теории поля и векторного анализа

При изучении многих процессов в физике технике, рассматривают величины, значения которых определяются выбранной точкой и моментом времени. Если эта величина принимает числовые значения, то с математической точки зрения это означает, что задана скалярная функция этой точки времени. А если величина принимает векторные значения, то говорят, что задана векторная функция этой точки и времени.

- скалярная функция - векторная функция

Если эти величины не зависят от t то, процесс называется стационарным. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, которые не зависят от времени , .

Пункт 1. Скалярные поля и их основные характеристики

Определение 1. Если в области V каждой точке поставлено в соответствие число то говорят, что в области V заданно скалярное поле.

Основные характеристики:

1. Поверхности уровня, линии уровня.

2. Производная по направлению вектора L , где .

3. Градиент скалярного поля.

Определение 2. Градиентом пространственного дифференцируемого поля U=U(M) называется векторная функция точки M, обозначаемое grad(M) и определяемая формулой

, где частные производные вычислены в точке M.

Аналогично для плоского поля U(x,y) градиент определяется формулой:

.

Градиентом скалярного поля U(x,y) – это вектор, характеризующий наибольшую (по модулю и направлению) скорость изменения этого поля.

Это определение не зависит от выбора координатной системы.

Направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности U(x,y,z)=C.

Примерами скалярных полей являются поле температуры атмосферы, поле плотности массы.

Пункт 2. Векторные поля

Определение 3. Векторным полем точки M называется векторная функция точки M вместе с областью её определения.

Примерами векторных полей являются поле магнитной напряжённости, поле скоростей установившегося тока жидкости.

Задание векторного пространственного поля равносильно заданию скалярных функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), являющихся проекциями вектора на координатные оси:

P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x ,y, z)

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции и векторные поля являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.

Многие важные векторные поля, например поле сил тяготения или поле заряда являются градиентами некоторых скалярных полей.

Основные характеристики векторных полей

Определение 4. Потоком П векторного поля через ориентированную кусочно-гладкую поверхность S в направлении нормали , называется величина , равная поверхностному интегралу второго рода (ПИ-2) , где

- единичный вектор нормали к поверхности S.Поток равен объему жидкости , протекающему через поверхность S в заданном нормалью направлении в единицу времени.

(Объем параллелепипеда )

Если поверхность S замкнута и направление нормали – внешнее, тогда, если П>0, то говорят, что внутри поверхности есть источники, т.е. жидкости вытекает больше , чем поступает.

Если П<0, то внутри есть сток.

Если П=0, то внутри поверхности нет ни источников , ни стоков.

Определение 5. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля называется скалярная функция (поле) точки M, обозначаемая , равная пределу отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность S , окружающую точку М, к величине объема V, заключенного внутри этой поверхности , когда этот объем стремится к нулю. Дивергенция вычисляется по формуле:

(1)

где частные производные вычислены в точке M=М .

Теорему и формулу (5.8)Остроградского ,

можно теперь перефразировать следующим образом:

Теорема Остроградского. Поток векторного поля через замкнутую поверхность S в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции данного векторного поля , т.е.

(2)

Таким образом , чтобы поток отличен был от нуля , нужно , чтобы были стоки или источники, или . Таким образом дивергенция характеризует наличие источников (или стоков)

Определение 6. Ротором (или вихрем) векторного поля

Называется векторная функция , обозначаемая и определяемая формулой:

, где частные производные вычислены в точке M.

(3)

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке. Это локальная характеристика векторного поля, связанная с его вращательной способностью.

Определение 7. Циркуляцией векторного поля

называется скалярная величина С, равная КРИ-2 по замкнутому контуру, расположенному в области определения данного векторного поля, а именно

Циркуляция выражает работу силы по перемещению материальной точки вдоль замкнутого контура L.

Тогда формула Стокса может быть записана в виде

(4)

Физический смысл: Циркуляция векторного поля

вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого поля через поверхность, натянутую на данный контур L.

Пункт3. Виды векторных полей.

Потенциальное поле.

Определение 8. Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если существует такая непрерывно дифференцируемая функция U(M), что .

Функцию U(M) называют потенциалом векторного поля.

Теорема 1. Если векторное поле потенциально, то его потенциал вычисляется с точностью до константы С.

Теорема 2. Если векторное поле задано в односвязной области Е, то н.и д. условием его потенциальности является равенство =0.

При этом функцию потенциала можно найти по формуле:

(5)

Точка -любая из области определения поля.

Определение 9. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым) в области T, если его дивергенция равна нулю в каждой точке области, т.е. .

Согласно формуле Остроградского для соленоидального поля поток

, где S – любая замкнутая поверхность, внутри которой поле существует в каждой точке.

Физическая интерпретация соленоидального поля такова: в случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источников ( ) расход жидкости через поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение для всех сечений этой трубки.

Векторная трубка – это поверхность, ограниченная любыми сечениями области T.

Определение 10. Векторное поле называется гармоническим ( лапласовым), если оно является как потенциальным, так и соленоидальным, т.е. что это означает ?

Пункт 4. Операторы в теории поля.