§7. Поверхностный интеграл 1-го рода (пи-1)

Пусть - гладкая поверхность, и - непрерывная в точках функция. Разобьем поверхность на части , площадь каждой из которых равна В каждой части произвольно выберем точку и составим интегральную сумму Пусть Если существует предел интегральных сумм при не зависящий ни от способа разбиения на части , ни от выбора точек то он называется поверхностным интегралом 1 – го рода (ПИ – 1) от функции по поверхности и обозначается

Таким образом

ПИ-1 обладает свойствами линейности, аддитивности, для него справедлива теорема о среднем, его величина не зависит от выбора стороны поверхности.

Чтобы вычислить, ПИ-1 нужно:

1. Найти проекцию поверхности на одну из координатных плоскостей,

2. Перейти к вычислению двойного интеграла по этой области, заменив в подынтегральной функции переменную z из уравнения поверхности,

3. Выразить дифференциал dq через dS , умножив его на поправочный коэффициент .

Аналогично данной формуле могут быть вычислены ПИ-1 в случае проекции на другие координатные плоскости.

В случае явного задания поверхности уравнением

Если поверхность задана уравнением , -, то

Если же поверхность Q задана неявно уравнением тогда формула для вычисления ПИ-1 принимает вид

где - проекция на плоскость XY.

При вычислении интеграла в правой части формулы необходимо выразить из уравнения поверхности

Пример. Вычислить где - часть гиперболического параболоида вырезанная цилиндром

Решение

Поверхность задана явно, ее проекцией на плоскость XY является круг

Перейдя к полярным координатам, получим

§8. Поверхностный интеграл второго рода

Гладкая поверхность S называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на S и не имеющему общих точек с её границей, не меняет направления нормали к поверхности. Если же на поверхности существует замкнутый контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Примером простейшей двусторонней поверхности является плоскость, а также любая гладкая поверхность, определяемая уравнением . Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.

Заметим, что двустороннюю поверхность называют также ориентированной, а выбор определённой её стороны - ориентацией поверхности.

Пункт 1. Задача о вычислении потока жидкости через поверхность.

Пусть данная пространственная поверхность S, через которую движется жидкость со скоростью , где , , функции, определены в каждой точке данной поверхности.

1. Разобьем поверхность Q на n элементарных поверхностей .

2. Выберем точку М_i на каждой элементарной площадке. Вычислим вектор.

3. Количество жидкости, протекающую через элементарную площадку за единицу времени .

4. Тогда через всю поверхность S при данном разбиении поток равен .

5. Если обозначить через диаметр элементарной площадки, то , будет выражать количество жидкости проходящей через поверхность за единицу времени.

Пункт 2 . ПИ-2

1.Пусть задана функция с непрерывными координатами в области V.

2. Задана ориентированная поверхность S c помощью единичного вектора нормали .

3.Повторив алгоритм разбиения поверхности, придем к интегральной сумме .

Определение 1: Если  и конечен , который не зависит от разбиения и выбора точки, то он называется поверхностным интегралом второго рода ПИ-2. и обозначается

(1)

Теорема 1. Если функции P,Q,R непрерывны на ограниченной гладкой, содержащей все граничные точки, ориентированной поверхности S, то ПИ-2  .

Свойства ПИ-2

1. Свойство линейности

2. Свойство аддитивности

3. При изменении направления вектора нормали на противоположный ПИ-2 меняет знак.

Пункт 3. Вычисление ПИ-2

А) Скалярная форма ПИ-2.

Преобразуем подинтегральное выражение с учетом того, что вектор

- вектор - функция , - единичный вектор нормали.

dq-дифференциал площади поверхности.

Рассмотрим случай, когда прямые параллельные координатным осям, пересекают поверхность S не более чем в одной точке.

Тогда

Подставим данное выражение в подынтегральную функцию . (2)

Формула показывает, что ПИ-2 является суммой трех ПИ-1.

Это выражение называют скалярной формой ПИ-2.

Б) Вычисление ПИ-2.

Т.к. произведение - представляет собой проекцию площади поверхности dq на плоскость ХОУ, взятую со знаком + или знаком – ( и остальные произведения аналогично ) т.е.: ,

то формула (2) может быть представлена в виде трех двойных интегралов по плоским областям , которые являются проекциями поверхности Q на соответствующие координатные плоскости, а именно :

(3)

В правой части формулы (3) в каждом интеграле третью переменную, по которой не производится интегрирование, выражают из уравнения поверхности S.

Если S задана в явном виде z = z (x, y), то вектор нормали имеет координаты n (-z^’_x, -z^’_y, 1) тогда

Тогда ПИ-2 может быть вычислен (4)

Если S задана в явном виде у = у (x, z),то

Вектор нормали имеет вид

= (5)

Если S задана в явном виде x = x (y, z),то

= (6)

Если поверхность задана в неявном виде F(x,y,z)=0, то

= (7)

Напомнить, что

Пример. Вычислить поток жидкости, проходящий со скоростью через поверхность -3x+2y+4z-6=0 в том направлении нормали , которое определяет острый угол между ОZ и .

Решение 1-е. (по формуле 4)

1. Пусть поверхность выражена уравнением в явном виде

.

2. Тогда координаты нормального вектора .

3. По формуле I=

Примечание. Можно также применять формулы (5) или (6)

Решение 2. (по формуле 7)

Случай неявного задания поверхности -3x+2y+4z-6=0

1. Так как , то

2. I=

Примечание: Если прямая, параллельная одной из координатных осей, пересекает поверхность более чем в одной точке, то такую поверхность нужно предварительно разбить на сумму поверхностей имеющих не более одной точки с такой прямой и вычислить ПИ-2 по каждому из них, а затем результаты сложить.

Пункт 4. Формулы Остроградского и Стокса

Теорема 2.Если векторная функция непрерывно дифференцируема в области V,ограниченной замкнутой поверхностью S, то справедлива формула (8)

Доказательство: 1) Рассмотрим стандартную пространственную цилиндрескую область, ограниченную сверху поверхностью и снизу _.

2) Тогда

3) Интеграл в правой части является поверхностным интегралом

Если изменить направление нормали во втором интеграле, то получим:

4) Если ввести в цилиндр боковую поверхность , то

.

5) Т.о.

6) Если рассмотреть по аналогии

Складываем почленно левые и правые части данных трех интегралов приходим к формуле, которую и нужно было доказать.

Теорема Стокса.

Теорема 3. Если координаты вектор а (P,Q,R) непрерывно дифференцируемы по замкнутому, положительно ориентированному контуру L то верно равенство:

, (9)

где S - любая поверхность, натянутая на контур L.

Формула Стокса связывает КРИ-2 и ПИ-2 по поверхности, связывающий этот контур.

Примечание: Чтобы правильно записать ПИ-2 (подынтегральную функцию) нужно воспользоваться формулой для вычисления определителя

Примечание 2: Если L – плоский контур , то из формулы Стокса следует формула Грина.

Пример . Вычислить КРИ-2 , если L- треугольникАВС с вершинами А(1.0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).

Решение

1. Так как контур замкнут , то применим формулу С токса (8) , для этого найдем выражение для .

2. Тогда