Тесты для самопроверки
Задание 1. Дайте определение криволинейного интеграла второго рода (КРИ-II). Запишите формулы для вычисления КРИ-II. К вычислению какого определенного интеграла сводится вычисление криволинейного интеграла
,
где
АВ
– дуга параболы
от т. А (1, 2) до т. В (2, 8).
Варианты ответов:
Правильный ответ: С.
Задание 2. Перечислите основные свойства КРИ-II. Чему равен криволинейный интеграл
,
где L – ломаная линия АВС, А (3, 4), В (1, 2), С (2, 1)?
Варианты ответов:
Правильный ответ: В.
Задание 3. Запишите формулу, по которой вычисляется КРИ-II в случае параметрического задания кривой.
Вычислите криволинейный интеграл
где L – нижняя половина окружности
проходимая по часовой стрелке.
Варианты ответов:
Правильный ответ: А.
Задание 4. Вычислите повторный интеграл
.
Варианты ответов:
А)
2; В) 2х;
D)
3у.
Правильный ответ: А.
Задание 5. Дайте определение двойного интеграла, перечислите его основные свойства. К какому повторному интегралу сводится двойной интеграл
,
где
D
– область, ограниченная линиями
,
.
Варианты ответов:
;
Правильный ответ: С.
Задание 6. Запишите формулу замены переменных в двойном интеграле. Что такое якобиан? Укажите, чему равен якобиан перехода от декартовых координат (х, у)
1)
к полярным координатам
;
2) к обобщенным полярным координатам ,
3) к координатам (u, v ), где
;
4) к координатам (u, v ), где
.
Варианты ответов:
Правильные ответы:
1) С ; 2) F; 3) B; 4) A.
Задание 7. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривыми
.
Варианты ответов:
Правильный ответ: D.
Задание 8. Вычислите интегралы:
Варианты ответов:
А)
3;
С) 16 ; D)
12; 
Правильные ответы:
1) D; 2) В.
Задание 9. Дайте определение тройного интеграла, перечислите его основные свойства. Как вычисляется тройной интеграл? Расставьте пределы интегрирования в интеграле
,
где
область V
ограничена плоскостями
,
функция
непрерывна в области V.
Варианты ответов:
Правильный ответ: А.
Задание 10. Вычислите с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями
.
Варианты ответов:
А) 12; В) 16; С) 6; D) 24.
Правильный ответ: В.
Задание 11. Что называется направляющими косинусами вектора?
1)
Найдите единичный вектор нормали
к поверхности
в произвольной точке М
(х,
у);
2) Выпишите направляющий косинус этого вектора .
Варианты ответов:
D)
-1;
; 
Правильные ответы:
1) С; 2) Е.
Задание 12. Найдите вектор нормали к плоскости
,
который образует
1) острый угол с осью OZ;
2) тупой угол с осью OZ;
3) острый угол с осью ОУ;
4) тупой угол с осью ОХ.
Варианты ответов:
А) (3, -2, -1); В) (-3, 2, 1); С) (1, 2, -3); D) (-1, 2, 3).
Правильные ответы:
1) В; 2) А; 3) В; 4) В.
Задание
13. Найдите
скалярное произведение
векторного поля
на
вектор
.
Варианты ответов:
Правильный ответ: В.
Задание
14. Запишите
формулу для вычисления потока векторного
поля через ориентированную поверхность
(с помощью поверхностного интеграла).
К какому двойному интегралу сводится
вычисление потока векторного поля
через плоскость треугольника
,
вырезанного из плоскости
координатными плоскостями, в том
направлении нормали к плоскости, которая
образует с осью ОZ
острый угол?
Варианты ответов:
где D – треугольник в плоскости ХОУ с вершинами (0, 0), (4, 0), (0, -4);
где D – квадрат в плоскости ХОУ с вершинами (0, 0), (4, 0), (4, -4), (0, -4);
где D – треугольник в плоскости ХОZ с вершинами (0, 0), (4, 0), (0, -2);
где D – треугольник в плоскости ХОУ с вершинами (0, 0), (4, 0), (0, -4).
Правильный ответ: D.
Задание
15. Что
называется дивергенцией векторного
поля? По какой формуле она вычисляется
в декартовой системе координат? Найдите
дивергенцию
векторного поля
в точке М (1, 1, 1).
Варианты ответов:
А) -4; В) 4; С) (2, 0, 2); D) (1, -2, 1).
Правильный ответ: В.
Задание 16. Какое векторное поле называется соленоидальным?
Проверьте,
является ли поле
соленоидальным.
Варианты ответов:
А)
Да; В) Нет; С)
не является векторным полем;
D) Для понятие соленоидальности не определено.
Правильный ответ: А.
Задание
17. Найдите
ротор
векторного поля
.
Варианты ответов:
Правильный ответ: С.
Задание 18. Какое векторное поле называется потенциальным?
Определите, для какого векторного поля функция
является его потенциалом.
Варианты ответов:
Правильный ответ: В.