Контрольная работа 9. Ряды. Указания к выбору варианта
Последняя цифра личного шифра (после дефиса) определяет номер варианта. Если последняя цифра 0, то номер варианта 10.
Задания
Задача 411 - 420.
Исследовать сходимость числового ряда.
Задача 421 - 430.
Исследовать на сходимость ряд.
Задача 431 - 440.
Исследовать на сходимость ряд.
Задача 441 - 450.
Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.
Задача 451 - 460.
Найти область сходимости степенного ряда.
Задача 461-470.
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать.
Методические указания к выполнению контрольной работы 9
Пример 1. Исследовать сходимость рядов
Решение.
а) Сравним элементы этого ряда с элементами гармонического расходящегося ряда
Так как ряд с меньшими элементами
то
и ряд с большими элементами
будет расходиться.
б)
Проверим выполнение необходимого
признака сходимости; для этого найдем
В нашем случае
следовательно ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Если в формуле общего элемента присутствуют факториалы, то рекомендуется применять признак Даламбера. Найдем предел
Согласно признака Даламбера ряд сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряды:
б)
Решение.
а)
Если в формуле общего элемента
имеются выражения, возведенные в степень
n,
то удобно пользоваться признаком Коши:
б) Проведем оценку общего элемента исходного ряда:
Сравним исходный ряд с рядом
к которому применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим несобственный интеграл
интеграл сходится, значит, сходится ряд
По признаку сравнения сходится и исходный ряд.
Пример 4. Исследовать сходимость знакочередующихся рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная).
а) Так как
то выполнены условия признака Лейбница, и данный ряд сходится.
Для установления
характера сходимости составим ряд из
абсолютных величин элементов, т.е. ряд
Взяв гармонический ряд
и применив предельный
признак
устанавливаем его расходимость.
б) Условия Лейбница:
выполнены. Ряд сходится.
Исследовать
ряд
на сходимость можно по признаку Коши
или по определению сходимости числового
ряда. Найдем сумму данного ряда как
сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
Так
как сумма конечна, то ряд
сходится,
а исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 5. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение.
а) Радиус сходимости находим по формуле
.
Значит, ряд сходится на всей числовой оси, т.е. на интервале (,+).
б) Для вычисления радиуса сходимости применим формулу
Получим
.
Значит, ряд сходится на интервале (-3; 3).
Исследуем
сходимость ряда на концах интервала.
При
получаем числовой ряд
Этот
числовой ряд расходится, так как общий
член ряда
не
стремится к нулю
,
т.е. не выполняется необходимый признак
сходимости ряда. На границе
опять получаем ряд
который
расходится по той же причине. Значит,
исходный ряд сходится только внутри
интервала сходимости, т.е. при
.
Решение. Разложим подынтегральную функцию по формуле
Так как отрезок интегрирования [-0,6; 0] находится внутри интервала сходимости данного ряда, то ряд можно почленно интегрировать. Подставляя в интеграл вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем
.
Ряд знакочередующийся. Погрешность замены суммы ряда суммой его первых n членов по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов. И поскольку
,
то для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно взять первые три слагаемых. Итак,
.