V. Уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения вида

, (2.6)

где , называются уравнениями Бернулли.

При уравнение (2.6) превращается в линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

При - в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Пусть и . Очевидно, что является решением этого уравнения. Для разделим уравнение (2.5) на . При этом получим:

.

Введем новую неизвестную функцию , тогда

.

В итоге получаем:

– линейное дифференциальное уравнение первого порядка, вид интегрирующего множителя для которого определяется теоремой 2.2.

Замечание. Уравнения Бернулли и их частный случай – линейные дифференциальные уравнения первого порядка – можно также проинтегрировать методом Бернулли, суть которого в замене неизвестной функции произведением двух новых неизвестных функций и .

VI. Дифференциальные уравнения, обладающие интегрирующими множителями, зависящими от одной переменной.

Рассматривая линейные дифференциальные уравнения первого порядка, можно заметить, что интегрирующий множитель этих уравнений зависит только от переменной . На самом деле существует гораздо более широкий класс уравнений первого порядка, помимо линейных, для которых определяются интегрирующие множители, зависящие либо только от , либо только от . Достаточные условия принадлежности дифференциальных уравнений к этому классу описываются следующей теоремой.

Теорема 2.3.

Пусть для уравнения (2.1)

либо функция зависит только от переменной ,

либо функция зависит только от переменной .

Тогда в первом случае существует интегрирующий множитель уравнения (2.1) вида

.

Во втором случае существует интегрирующий множитель уравнения (2.1) вида

.

Пример.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

в области .

Проверим, выполняются ли для этого условия теоремы 2.1 в указанной области: . .

Составим разность .

.

Таким образом, в соответствии с теоремой 2.3, существует интегрирующий множитель

.

После умножения на уравнение становится точным: .

Его общий интеграл имеет вид , где

,

, значит , ,

– общий интеграл дифференциального уравнения.

§3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Если порядок дифференциального уравнения выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением высшего порядка.

Если уравнение -го порядка разрешимо относительно старшей производной, то его можно записать в виде:

(3.1)

В рамках данного параграфа будем отождествлять понятия интегральной кривой и решения дифференциального уравнения (3.1).

Будем говорить, что интегральная кривая дифференциального уравнения (3.1) «проходит» через заданную точку пространства , если выполняется система уравнений:

(3.2)

Система (3.2) называется системой начальных условий.

Задача Коши для дифференциального уравнения (3.1) ставится следующим образом: найти интегральную кривую , проходящую через точку .

Для дифференциального уравнения второго порядка можно определить геометрический и механический смысл задачи Коши:

(3.3)

Геометрический смысл задачи (3.3) заключается в нахождении интегральной кривой , которая проходит на плоскости через точку и имеет в этой точке заданный угловой коэффициент наклона касательной .

Механический смысл задачи (3.3).

Если - закон прямолинейного движения точки, где - время, то условие задает начальное положение движущейся точки, а - начальную скорость точки.

Пусть - открытая область пространства . Будем говорить, что дифференциальное уравнение (3.1) в точке обладает свойством локальной единственности решения, если существует хотя бы одна интегральная кривая дифференциального уравнения (3.1), проходящая через точку , при этом найдется такой интервал , для которого все интегральные кривые уравнения, проходящие через заданную точку , совпадают.

Теорема 3.1 (Коши).

Если в области пространства правая часть дифференциального уравнения(3.1) и её частные производные непрерывны, то в каждой точке , принадлежащей данной области , дифференциальное уравнение (3.1) обладает свойством локальной единственности решения.

Дадим определения общего, частного и особого решений интеграла дифференциального уравнения (3.1).

Пусть в области пространства дифференциальное уравнение (3.1) обладает свойством локальной единственности решения. Функция , где - независимые константы, , называется общим решением дифференциального уравнения (3.1) в области , если:

1. для любых допустимых фиксированных значений констант функция является частным решением дифференциального уравнения (3.1);

2. для любой точки , принадлежащей области , можно указать такие значения констант , что функция является интегральной кривой дифференциального уравнения (3.1), проходящей через точку .

Если общее (частное) решение получено в неявном виде, оно называется общим (частным) интегралом дифференциального уравнения (3.1).

Решение дифференциального уравнения (3.1) называется особым, если в каждой его точке нарушено свойство локальной единственности решения.

Пример.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка и проверим, является ли функция общим решением дифференциального уравнения.

Поскольку эти функции непрерывны во всем пространстве , то в силу теоремы 3.1 в области уравнение обладает свойством локальной единственности решения.

В области проверим свойства 1) -2) из определения общего решения.

1. Возьмем произвольные константы :

, тогда

Значит, - решение уравнения.

2. Пусть задана точка . Решим систему уравнений

относительно констант

Значит,

Функция задает ту интегральную кривую, которая проходит через заданную точку .

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Говорят, что дифференциальное уравнение высшего порядка допускает понижение порядка, если в нем можно сделать такую замену переменной, что полученное в результате уравнение будет иметь порядок меньший, чем порядок исходного уравнения. Даже если полученное в результате понижения порядка уравнение решается численно, это делается эффективнее, чем для первоначального уравнения.

Рассмотрим три основных типа таких уравнений.

I. Дифференциальные уравнения вида

,

где известная функция, интегрируются в квадратурах.

Действительно, учитывая, что , и интегрируя по левую и правую части уравнения, получаем уравнение порядка

.

Поскольку это уравнение того же типа, что и исходное, находим

.

Через шагов получим общее решение уравнения :

.

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Последовательно интегрируя трижды, находим общее решение:

,

,

,

для

,

для

,

–общее решение уравнения.

II. Дифференциальные уравнения не содержащие неизвестной функции и её первых производных, т.е. имеющие вид

Пусть новая неизвестная функция, тогда

,

Таким образом, уравнение примет вид

следовательно, порядок уравнения понижен на единиц.

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Пусть ─ новая неизвестная функция, тогда и данное уравнение примет вид

,

.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с интегрирующим множителем

.

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель , получим

или

.

По условию . Подставив в последнее уравнение, получим

или

,

откуда находим общее решение

.

III. Дифференциальные уравнения не содержащие явно независимой переменной x. Их общий вид

.

Порядок этого уравнения можно понизить подстановкой , где рассматривается как новая неизвестная функция, а принимается за независимую переменную. В этом случае все производные надо выразить через производные от функции по :

Поскольку производные выражаются через функцию и её производные по , порядок которых не превосходит , то после указанной замены уравнение понизит свой порядок на единицу.

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Пусть новая независимая переменная, новая неизвестная функция, тогда . Дифференциальное уравнение в результате примет вид: