3. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов и технических средств обучения

3.1. ЭУМК по высшей математике для технических специальностей

(библиотека БГУИР).

Протокол согласования учЕбной программы по изучаемой учебной дисциплине с другими дисциплинами специальности

Код и наименование специальности	Выпускающая кафедра	Предложения об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой дисциплине	Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и но- мера протокола)	Подпись заведующего выпускающей кафедры
1	2	3	4	5
1-40 03 01 Искусственный интеллект	Каф. ИИТ
1-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий	Каф. ПОИТ
1-40 01 02 02 Информационные системы и технологии в экономике	Каф. ИСиТвЭ
1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации	Каф. АСОИ

Зав. кафедрой

высшей математики В. В. Цегельник

Теоретический раздел Глава 1. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. Элементы теории устойчивости

(В.А.Ранцевич, Ж.А.Черняк)

§1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Во многих задачах математики, физики, экономики, социологии неизвестную функцию требуется найти из уравнения, содержащего эту функцию и несколько её производных. Такое уравнение называют дифференциальным уравнением. Оно имеет следующий общий вид:

, (1.1)

где – известная функция переменных , x – независимая переменная, y – неизвестная функция.

Если функция в (1.1) зависит только от одной переменной , такое уравнение называется обыкновенным. В том случае, когда неизвестная функция зависит от нескольких переменных, дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В нашем курсе изучаются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение , где – известная функция. Решением именно таких уравнений мы занимались при изучении неопределенных интегралов.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение (1.1), называется порядком этого дифференциального уравнения.

Пример.

– дифференциальное уравнение 1-го порядка.

– дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (1.1) на промежутке называется такая функция , подстановка которой вместе со всеми ее производными в уравнение (1.1), превращает его в верное равенство при всех , т.е.

для любых .

Так, например, решением простейшего дифференциального уравнения является неопределенный интеграл .

Однако не всегда решение дифференциального уравнения можно получить в явном виде, как функцию .Чаще всего при решении дифференциального уравнения мы получаем соотношение , неявно задающую функцию , являющуюся решением этого уравнения.

В этом случае соотношение называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример 1.

– дифференциальное уравнение 1-го порядка. Проверим, что функция – решение уравнения на промежутке .

В самом деле, . Подставим и в исходное уравнение:

для всех .

Вывод: - решение данного дифференциального уравнения.

Легко проверить, что и семейство функций также является решением дифференциального уравнения для любого , где – произвольная постоянная. Семейство функций является общим решением уравнения. При из него получается частное решение .

Пример 2.

– дифференциальное уравнение 1-го порядка. Рассмотрим функцию , определенную для . Покажем, что соотношение является интегралом дифференциального уравнения

верно для .

Вывод: – интеграл данного дифференциального уравнения на промежутке .

Аналогично проверяется, что функция вида , где тоже является интегралом этого уравнения.

Пример 3.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка . Покажем, что для любых констант функции являются решениями данного уравнения для .

Так как , то после подстановки и в уравнение получаем

для любых .

Семейство функций является общим решением дифференциального уравнения.

Пусть , где – фиксированные константы.

Тогда – частное решение.

В частности, при , получается частное решение .

Сделаем следующие предварительные выводы:

1. В общем решении дифференциального уравнения -го порядка содержится независимых констант: .Частное решение получается из общего при конкретных числовых значениях этих констант.

2. В общем интеграле дифференциального уравнения

также содержится независимых констант, при конкретных числовых значениях которых из общего интеграла получается частный интеграл уравнения.

Перейдём к рассмотрению дифференциальных уравнений 1-го порядка, общий вид которых

. (1.2)

Если это уравнение удаётся разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

. (1.3)

Это уравнение называется уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.

Выясним геометрический смысл такого уравнения. Для этого правую часть уравнения будем рассматривать как функцию двух переменных в открытой области пространства . Для каждой точки из области вычислим значение функции в этой точке, т.е. .

Через точку проведём отрезок прямой с угловым коэффициентом . Область вместе с проведенными в ней отрезками называется полем направлений дифференциального уравнения (1.1). График решения называется интегральной кривой уравнения.

Геометрический смысл дифференциального уравнения (1.3) состоит в том, что любая его интегральная кривая в каждой своей точке , где , касается прямой .

Действительно, если – решение дифференциального уравнения (1.3), график которого проходит через точку , то

Определение. Будем говорить, что дифференциальное уравнение (1.3) в точке обладаем свойством локальной единственности решения (СЛЕР), если через эту точку проходит хотя бы одна интегральная кривая этого уравнения, причем, если таких кривых несколько, то они совпадают в некоторой окрестности . Дифференциальное уравнение (1.3) обладает СЛЕР в области , если оно обладает этим свойством в каждой точке области .

Без доказательства приведём следующую теорему.

Теорема 1.1.

Дифференциальное уравнение (1.3) обладает СЛЕР в области , если правая часть уравнения и непрерывны в области .

Теорема 1.1 известна также в другой формулировке. Введём понятие задачи Коши для уравнения (1.3).

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.3) называется задача нахождения интегральной кривой этого уравнения, проходящей через заданную точку.

Более формально:

Задача Коши: найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

, (1.4)

где – заданные числа.

Теорема 1.1 в нижеприведенной формулировке известна как теорема Коши.

Теорема Коши.

Если функции и непрерывны в области , то задача (1.4) всегда имеет решение. Причём, если таких решений несколько, то они совпадают в интервале .

Определение. Если в каждой точке интегральной кривой уравнения (1.3) нарушено СЛЕР (т.е. через каждую точку проходит не менее двух интегральных кривых этого уравнения), тогда решение называется особым.

Пример.

Рассмотрим уравнение . Как было показано выше, функция является решением уравнения для любой константы .

Легко проверяется, что тоже является решением этого уравнения. Следовательно, через каждую точку прямой проходит ещё одна интегральная кривая . Значит, по определению, – особое решение данного дифференциального уравнения.

Особое решение не может быть получено из общего ни при каких значениях константы.

Определение. Пусть в области уравнение (1.3) обладает СЛЕР. Семейство функций , где С – параметр, называется общим решением уравнения (1.3), если

1. является решением уравнения (1.3) для любого допустимого значения параметра ;

2. для любой точки можно найти такое значение параметра , что интегральная кривая пройдет через точку , т.е. функция является решением задачи Коши (1.4).

Определение. Решение, полученное из общего решения при конкретном числовом значении параметра , называется частным.

Если общее решение получено в неявном виде , оно называется общим интегралом (1.3). При конкретном числовом значении константы из общего интеграла получается частный интеграл уравнения (1.3).