§7. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора

Пусть на интервале функция является суммой некоторого степенного ряда . Тогда говорят, что на интервале функция разлагается в степенной ряд с центром в точке (по степеням ).

Вопрос о разложении функции в степенной ряд является одним из важных прикладных вопросов теории степенных рядов. Ставится задача: описать, при каких условиях функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки и как определяются коэффициенты этого степенного ряда. Частично на этот вопрос отвечает теорема 7.1.

Теорема 7.1 (необходимые условия разложимости функции в степенной ряд).

Если функция разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то его коэффициенты находятся по формулам

,

а значит, должна быть бесконечно дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть функция в окрестности является суммой степенного ряда, то есть . Тогда , где – -я частичная сумма ряда, а – -й частичный остаток ряда.

При этом

при .

Таким образом, при .

Но из курса математического анализа известно, что никакой другой многочлен, кроме многочлена Тейлора, не может приблизить данную функцию в окрестности с точностью при . Следовательно, – многочлен Тейлора, а значит, его коэффициенты являются коэффициентами Тейлора, то есть , что и требовалось доказать.

В связи с теоремой 7.1. дается определение ряда Тейлора для функции в точке .

Определение. Степенной ряд с коэффициентами , называется рядом Тейлора для функции в точке , независимо от того, сходится ли он вообще или сходится ли он к данной функции . Если , ряд называется рядом Маклорена для функции .

Можно привести примеры, когда ряд Тейлора, составленный для функции с центром в точке , расходится всюду, кроме точки , или сходится, но совсем к другой функции.

Пример Коши (функции, для которой ряд Маклорена сходится к другой функции).

Рассмотрим функцию

Вычислим коэффициенты Маклорена для функции :

Аналогично,

Ряд Маклорена для функции имеет вид:

, т.е. .

Таким образом возникает вопрос, какие условия должны выполняться, чтобы Функция разлагалась в ряд Тейлора.

Теорема 7.2 (достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора).

Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет производные любого порядка , которые равномерно ограничены в этой окрестности, т.е. существует такое число , при котором для любого натурального в любой точке . Тогда в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора:

.

Доказательство. Так как в окрестности функция имеет производные любого порядка, то для нее в этой окрестности можно записать формулу Тейлора любого порядка :

,

где – многочлен Тейлора, – остаточный член формулы Тейлора порядка .

Запишем в форме Лагранжа:

, где . Заметим, что поскольку , то , где – -я частичная сумма ряда Тейлора. Исходя из последней формулы, достаточно показать, что для любого , тогда для любого , то есть , по определению, является суммой ряда Тейлора на интервале .

Оценим остаточный член :

и покажем, что для любого .

Составим функциональный ряд , где . Найдем радиус сходимости данного ряда.

. Следовательно, сходится на всей числовой прямой, а значит, , что и требовалось доказать.

Теорема 7.3 (разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций).

Справедливы следующие разложения в ряды Маклорена:

– разложение экспоненты в ряд Маклорена.

– разложение синуса в ряд Маклорена.

– разложение косинуса в ряд Маклорена.

– разложение арктангенса в ряд Маклорена.

– разложение логарифма в ряд Маклорена.

– биномиальное разложение.

Доказательство. Очевидно, что ряды, записанные в этих равенствах справа, являются рядами Маклорена для соответствующих функций (см. соответствующие формулы Маклорена). Остается доказать, что ряды Маклорена сходятся к указанным слева в этих равенств функциям.

Для функций , , используем результаты теоремы 7.2. На каждом фиксированном промежутке , где , все производные этих функций равномерно ограничены. Действительно,

Следовательно, по теореме 7.2 данные функции являются суммами своих рядов Маклорена.

Докажем справедливость 4-го разложения.

Рассмотрим степенной ряд .

Найдём его радиус сходимости :

.

Ряд сходится абсолютно, если и расходится при . Отсюда следует, что радиус сходимости .

Изучим сходимость на концах интервала.

Пусть , тогда числовой ряд

сходится условно как ряд Лейбница.

Пусть , тогда ряд

ведёт себя аналогично.

В итоге: – область сходимости исходного ряда.

Пусть на отрезке . Найдём почленным дифференцированием:

.

Отсюда

,

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается справедливость 5-й формулы.

6-я формула приводится без доказательства.

Теорема доказана.