§3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если в нем присутствует бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
К
знакопеременным рядам относятся,
например, следующие ряды
,
где 
Среди знакопеременных рядов выделяются знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимися рядами называются такие ряды, два соседних члена которых имеют разные знаки.
Примеры.
Знакочередующиеся
ряды принято записывать следующим
образом:
,
где предполагается, что
.
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.
Теорема 3.1 (признак Лейбница).
Пусть
знакочередующийся ряд
удовлетворяет двум следующим условиям:
члены ряда монотонно убывают,
(необходимое
условие сходимости).
Тогда исходный ряд сходится.
Доказательство.
Рассмотрим частичную сумму ряда
.
Покажем, что последовательность частичных
сумм
монотонно возрастает и ограничена
сверху, а следовательно, сходится.
.
Это означает, что последовательность ограничена сверху.
С
другой стороны,
,
то есть последовательность
монотонно возрастает. Обозначим
Поскольку,
то
Следовательно,
существует предел последовательности
частичных сумм
,
равный
,
то есть ряд
сходится. Теорема доказана.
Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, называются рядами Лейбница.
Следствие 3.2.
Для
ряда Лейбница
выполняются следующие неравенства:
;
Доказательство.
Из доказательства признака Лейбница
известно, что
,
следовательно,
.
Поскольку
-й
остаток
ряда Лейбница сам является рядом
Лейбница, то для него верна аналогичная
оценка:
Следствие доказано.
Пояснение:
Рассмотрим
ряд, у которого
.
1)
, то есть члены ряда монотонно убывают;
2)
.
Таким образом, условия признака Лейбница
выполняются.
Пояснение:
Если
то при
последовательность
монотонно убывая стремится к нулю, т.е.
имеем ряд Лейбница.
Если
,
тогда
-й
член ряда примет вид:
.
Рассмотрим
функцию
,
где
.
Найдем производную этой функции:
.
,
если
.
То
есть для
монотонно стремится к нулю при
.
Значит, ряд
сходится при любом
,
так как удовлетворяет условиям теоремы
3.1.
Рассмотрим произвольный знакопеременный ряд
. (3.1)
Ряд (3.1) определяет два знакопостоянных ряда:
и
,
(3.2)
где – это й по порядку неотрицательный член ряда (3.1);
– это й по порядку отрицательный член ряда (3.1).
Относительно рядов (3.2) возможны 4 следующие ситуации:
(А)
– ряд из неотрицательных членов
сходится;
– ряд
из отрицательных членов тоже сходится.
(В) 
– ряд из неотрицательных членов
расходится;
– ряд из отрицательных членов сходится.
(С) – ряд из неотрицательных членов сходится;
– ряд из отрицательных членов
расходится.
(D) – ряд из неотрицательных членов расходится;
– ряд из отрицательных членов тоже расходится.
Очевидно, что в ситуации (А) ряд (3.1) сходится, а в ситуациях (В) и (С) расходится. В ситуации (D) исходный ряд (3.1) может как сходиться, так и расходиться.
Применительно к рассмотренным случаям дадим два определения.
Знакопеременный
ряд
называется абсолютно
сходящимся,
если ряд, составленный из модулей его
членов
,
сходится. Знакопеременный ряд
называется условно
сходящимся,
если сам ряд
сходится, а ряд, составленный из модулей
его членов
,
расходится.
Легко видеть, что абсолютно сходящийся ряд может возникнуть только в ситуации (А). Условие абсолютной сходимости оказывается в этом случае более сильным, чем условие обычной сходимости. А именно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3.3.
Если ряд (3.1) абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле.
Доказательство.
Пусть ряд
сходится, тогда ряд
тоже сходится. Используя очевидное
неравенство
,
можно
утверждать, что в силу признака сравнения
(теорема 2.1) ряд
сходится, но с другой стороны
.
Поскольку
ряды
и
сходятся, то ряд
,
как их разность, тоже сходится, что и
требовалось доказать.
Поскольку
ряд
является знакоположительным рядом, то
для исследования его сходимости можно
использовать все признаки сходимости
и сравнения знакоположительных рядов.
Пример.
Исследовать абсолютную сходимость рядов
и
.
Поскольку
,
то для
ряд
сходится абсолютно, а, следовательно,
и в обычном смысле. Аналогично, ряд
сходится абсолютно для
.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают всеми свойствами конечных сумм. Приведём без доказательства некоторые их свойства
Теорема 3.4 (свойства абсолютно сходящихся рядов).
1.
Пусть ряды
и
сходятся абсолютно, тогда для любых
чисел
ряд
тоже сходится абсолютно к числу
.
2. Для любого абсолютно сходящегося ряда допустима произвольная перестановка и произвольная группировка членов ряда. При этом новый ряд будет по-прежнему абсолютно сходящимся к той же сумме.
3.
Пусть даны два числовых ряда
и
.
Произведением этих рядов по Коши
называется ряд
,
где
,
,
,
.
Если хотя бы один из перемножаемых рядов и сходится абсолютно, а другой сходится, то произведение рядов по Коши будет сходиться абсолютно.
Обратимся теперь к условно сходящимся рядам. Очевидно, что такие ряды могут возникнуть только в ситуации (D). Сформулируем несколько свойств условно сходящихся рядов, которые в корне отличаются от свойств абсолютно сходящихся рядов, а, следовательно, и от свойств конечных сумм.
Теорема 3.5.
Если ряд (3.1) условно сходится, то оба ряда (3.2) и расходятся.
Теорема 3.6 (Римана).
Если ряд (3.1) – условно сходящийся, то можно указать такую перестановку его членов, что либо полученный в результате перестановки ряд будет сходиться к любому наперёд заданному числу, либо будет вообще расходиться.
Пример.
Для
всех
исследовать сходимость рядов
.
Известно,
что для
эти ряды абсолютно сходятся, а для
являются рядами Лейбница, т.е сходятся;
для
ряды расходятся, так как для них не
выполняется необходимое условие
сходимости.
Аналогично,
ряды
сходятся абсолютно для
,
а для
сходятся условно.
Замечание. Для исследования условной сходимости нельзя применять признаки сравнения знакоположительных рядов.
Приведем пример, когда неправомерное применение признака сравнения приводит к неверному результату.
Пример.
Исследовать
сходимость ряда
.
Ряд
условно сходится (по признаку Лейбница).
Исследуемый ряд расходится как сумма сходящегося и расходящегося ряда.
Таким
образом, с точки зрения сходимости, ряды
и
ведут себя по-разному. Однако,
при
,
поскольку
.