§3. Вычисление кратных интегралов в прямоугольной декартовой системе координат

3.1. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат.

Определение:

Область назовем выпуклой вдоль оси , если она задается системой неравенств

Область является выпуклой вдоль оси , тогда и только тогда, когда любая прямая (параллельная оси ), где , пересекает границы области не более чем в двух точках.

При этом линия с уравнением называется линией входа в область , а линия с уравнением называется линией выхода из области

Аналогично определяется область, выпуклая вдоль оси .

Теорема 3.1 (о сведении двойного интеграла по выпуклой вдоль оси ОY области к повторному).

Пусть функция интегрируема по области , выпуклой вдоль оси

Если для любой точки , принадлежащей интервалу , существует интеграл ,

то справедлива формула сведения двойного интеграла к повторному:

(3.1)

Интеграл справа в формуле (3.1) называется повторным интегралом и вычисляется изнутри, то есть сначала вычисляется интеграл по при фиксированном значении , а затем вычисляется внешний интеграл по переменной .

Доказательство:

Приведем геометрическое доказательство формулы (3.1).

z = f(x;y)

Для простоты доказательства будем считать, что .

Тогда, с одной стороны, двойной интеграл равен объему цилиндрического бруса, т.е.

.

С другой стороны, по условиям теоремы для любого из интервала существует

.

Выясним геометрический смысл последнего интеграла. Произведем сечение цилиндрического бруса плоскостью . В сечении получим криволинейную трапецию ABCD.

Очевидно, что площадь S_ABCD этой трапеции численно равна

.

Поскольку аналогичные рассуждения справедливы для любого из интервала , то функция

выражает площадь поперечного сечения цилиндрического бруса плоскостями, перпендикулярными оси Ox.

Поэтому объем цилиндрического бруса можно вычислить и другим способом, используя формулу:

.

Сравнивая два полученных выражения для объема цилиндрического бруса, приходим к окончательному результату:

.

Замечание:

1. Если область G выпукла вдоль оси Ox, то справедлива формула, аналогичная формуле(3.1) (3.2)

где область G задана системой неравенств

2. Если область G не является выпуклой вдоль осей Ox и Oy , то её нужно разбить на конечное число частей , не имеющих общих внутренних точек, выпуклых вдоль какой-либо оси.

3. Легко заметить, что в повторных интегралах из формул (3.1) и (3.2) внешние пределы интегрирования всегда являются константами, а пределы интегрирования внутреннего интеграла в общем случае являются функциями, зависящими от той переменной, по которой вычисляется внешний интеграл.

4. В повторных интегралах из формул (3.1) и (3.2) и внешние, и внутренние пределы интегрирования являются константами в том и только в том случае, когда областью интегрирования G является прямоугольник.

Например, областью интегрирования повторного интеграла является прямоугольник G:

Пример вычисления двойного интеграла с помощью сведения к повторному.

Расставить пределы интегрирования и вычислить двойной интеграл

по области G, заданной системой неравенств

Поскольку область интегрирования G является выпуклой как вдоль оси Oy, так и вдоль оси Ox, то исходный двойной интеграл можно записать одним из следующих способов:

Вычислим двойной интеграл, используя его первое представление в виде повторного:

2. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть Т – компакт пространства , функция – отображение компакта Т во множество R.

Предположим, существует тройной интеграл вида .

Будем рассматривать тело Т , выпуклое вдоль оси Oz. Пусть Т ограничено снизу и сверху поверхностями с уравнениями и соответственно, G_xy – проекция тела Т на плоскость XOY.

Геометрически выпуклость тела Т относительно оси Oz означает, что любая вертикальная прямая с уравнением где – внутренняя точка области G, пересекает границы тела Т не более чем в двух точках.

В этом случае можно получить формулу сведения тройного интеграла к следующему повторному интегралу:

.

Если теперь область G_xy выпукла вдоль оси Oy, т.е. определяется неравенствами , то двойной интеграл может быть выражен через повторный по формуле (3.1)

.

Тогда исходный тройной интеграл будет окончательно представлен в виде трехкратного (или повторного ) интеграла по формуле

. (3.3)