§7. Введение в теорию устойчивости

Мы уже познакомились с системами обыкновенных дифференциальных уравнений и представляем, что такие системы описывают работу многих механических, электрических, оптических приборов, а также биологических, социальных и др. процессов.

На рассмотренных ранее примерах конкретных систем мы строили общие решения и выделяли частные решения, удовлетворяющие условиям задачи Коши.

Но известно, что на практике устройство как правило, работает в одном режиме и все множество решений системы не обнаруживается. Как объяснить этот факт?

Можно объяснить так, что либо начальные данные выбраны определенным образом, либо с течением времени они утрачивают свое влияние и устройство само стабилизирует работу в заданном режиме.

Пример. Работа настенных часов. Такие часы идут с совершенно определенным размахом маятника, хотя при запуске маятник мог быть отклонен от вертикального положения по-разному или достаточно сильно или слабо. Какой при этом может быть исход? В первом случае скорее всего мятник примет периодические колебания, соответствующие нормальному ходу часов, а во втором случае  после нескольких колебаний он остановится. Из этого простого опыта следует, что у маятника есть два стационарных режима: периодические колебания и положение равновесия. Любое другое решение с течением времени приближается к одному из названных и практически не отличается от него.

Можно на интуитивном уровне сказать, что эти два решения являются устойчивыми.

Фазовое пространство системы распадается на две области притяжения.

Таким образом, чтобы иметь полное представление о работе какого-либо устройства, нужно хорошо представлять фазовое пространство системы уравнений, описывающих работу данного устройства. Или иными словами необходимо знать не одно конкретное решение задачи, соответствующей данным начальным условиям, а характер поведения решения при изменении аргумента и изменении начальных условий (ведь начальные условия - это результат измерения, т.е. присутствует и погрешность). Данными вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений. В разделе «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» были сформулированы условия существования и единственности решения задачи Коши. Но эти условия относятся лишь к окрестности начальных данных, т.е. носят локальный характер. Если же аргумент , то вопросом зависимости решения от начальных данных занимается теория устойчивости решения. При решении любой системы нужно знать все устойчивые ее решения и их зависимость от входящих параметров. Если устройство сконструировано без учета фактора устойчивости, то оно будет чувствительно к самым незначительным внешним воздействиям.

Известный советский математик Н.Г. Четаев писал « Если конструируется самолет, то его проектным движениям нужно обеспечить известного рода устойчивость, чтобы получить машину спокойную в полете и безаварийную на взлете и посадке. Коленчатый вал нужно рассчитать так, чтобы он не поломался от вибраций, которые возникают в реальных условия работы двигателя. Чтобы обеспечить артиллерийскому орудию наибольшую меткость и кучность боя, надо строить орудия и снаряды так, чтобы была устойчивость траекторий».

История развития данного направления глубока и ее можно проследить, анализируя приведенную таблицу.

История развития основ теории устойчивости.

Устойчивость состояний	Устойчивость траекторий
Ньютон (1642-1727) –Уравнения движения маятника.	Эйлер (1707-1783) Равновесные конфигурации сжатой упругой колонны
Лагранж(1736-1813) Аналитическая механика Энергетические условия устойчивости
Гамильтон (1805-1865) Система о.д.у.механики (1-го порядка)
	Пуанкаре (1854-1912) Теория бифуркаций. Качественная теория динамических систем
Ляпунов (1857-1918) Квазиметрические функции
	Андронов, Понтрягин Структурная устойчивость
	Смейл, Арнольд, Том, Зиман Классификация структурно устойчивых особенностей