1.9. Диференціальні рівняння го порядку, які інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі класи диференціальних рівнянь го порядку, які інтегруються в квадратурах.

Диференціальне рівняння виду (1.27) де задана неперервна на деякому проміжку функція, інтегрується в квадратурах. Загальний розв'язок рівняння (1.27) знаходять за допомогою інтегрувань: . . . . . . . . .

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

загальний розв’язок рівняння.

Значення довільних сталих знайдемо, використовуючи задані початкові умови

тоді, підставивши у першу рівність значення отримаємо:

звідки

Врахувавши, що отримаємо:

тоді маємо рівняння: звідки

Врахувавши, що отримаємо:

тоді, підставивши в останню рівність отримаємо:

звідки

Відповідь. частинний розв'язок.

Диференціальне рівняння виду яке можна розв'язати відносно : (1.28) інтегрується в квадратурах. Використовуючи заміну отримаємо рівняння звідки . Після цього рівняння (1.28) розв'язують аналогічно до диференціального рівняння (1.27), інтегруючи раз: (1.28*) При цьому загальний розв'язок диф. рівняння (1.28) отримують у параметричній формі:

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Записавши дане рівняння у вигляді , отримаємо рівняння (1.28).

Нехай , тоді останню рівність запишемо у вигляді:

звідки

Задано рівняння другого порядку, тобто тоді, використовуючи залежність (1.28^*), отримаємо:

Відповідь.

1.10. Диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку

Розглянемо два типи диференціальних рівнянь, порядок яких можна знизити.

Диференціальне рівняння виду: (1.29) не містить явно невідому функцію . Порядок рівняння (1.29) понизиться на одиниць, якщо за нову невідому функцію взяти найнижчу похідну даного рівняння, тобто позначити: (1.29*) Отримаємо диференціальне рівняння, порядок якого понижено на одиниць: . Зокрема, диференціальні рівняння виду за допомогою заміни (1.29*) зводяться до диференціальних рівнянь першого порядку.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Очевидно, що задане рівняння не містить явно невідому функцію .

Нехай , тоді отримаємо лінійне диф. рівняння (1.12), в якому невідома функція, , .

Для знаходження загального розв'язку лінійного диф. рівняння використаємо формулу (1.14):

Підставивши в останню рівність , , отримаємо:

Врахувавши, що , отримаємо: звідки

Відповідь.

де довільні сталі інтегрування

Диференціальне рівняння виду: (1.30) не містить явно незалежну змінну . Порядок рівняння (1.30) понизиться на одиницю, за допомогою заміни: де (1.30*) Диференціюючи по останню заміну отримаємо: де (1.30**) Підставивши рівності (1.30*) і (1.30**) у задане рівняння (1.30) отримаємо диф. рівняння першого порядку із невідомою функцією Диференціальні рівняння, які не містять явно незалежну змінну є непростими, тому ми зупинилися на диференціальних рівняннях другого порядку.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Очевидно, що необхідно розв'язати диференціальне рівняння виду (1.30), бо воно не містить явно незалежну змінну .

Використаємо заміни (1.30^*), (1.30^**).

Нехай де тоді Підставивши останні рівності у задане рівняння, отримаємо:

Останнє рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

або

або диф. рівняння з відокремлюваними змінними;

або

(змінні відокремлено)

звідки

Перейдемо до заданих змінних, враховуючи, що

диф. рівняння з відокремлюваними змінними;

Відповідь.

де довільні сталі інтегрування