2.6. Лінійні диференціальні рівняння го порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння го порядку із сталими коефіцієнтами:

(1.55)

де сталі дійсні числа.

Характеристичним для диф. рівняння (1.55) називається алгебраїчне рівняння го порядку:

(1.56)

яке, як відомо, має коренів:

1) Кожному простому кореню рівняння (1.56) відповідає частинний розв’язок диф. рівняння (1.55), а кожному кореню кратності відповідає частинних розв’язків виду :

2) Кожній порі простих комплексно-спряжених коренів рівняння (1.55) відповідає два частинних розв’язки і диф. рівняння (1.55), а кожній парі комплексно- спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду:

3) Позначивши знайдені лінійно-незалежні частинні розв'язки через , загальний розв'язок однорідного диф. рівняння (1.55) знаходиться за формулою:

,

(1.57)

де довільні сталі.

Диференціальне рівняння виду:

(1.58)

є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку із сталими коефіцієнтами.

Загальний розв'язок диф. рівняння (1.58) знаходять аналогічно до розв'язку лінійного неоднорідного диф. рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

характеристичне рівняння;

або

або

За теоремою (стр. 66) знайденим кореням характеристичного рівняння відповідають частинні розв'язки:

Загальний розв'язок заданого рівняння знаходимо за формулою (1.57):

де довільні сталі.

Відповідь.

2.7. Системи диференціальних рівнянь. Інтегрування нормальних систем методом виключення

У багатьох технічних задачах необхідно знайти кілька невідомих функцій, що пов’язані між собою диференціальними рівняннями, сукупність яких утворює систему диференціальних рівнянь.

Нормальною системою диференціальних рівнянь називається система виду: (1.59)

У лівій частині даної системи диференціальних рівнянь знаходяться похідні першого порядку, а права частина – не містить похідних.

Іноді позначають: .

Розв’язком системи (1.59) називається сукупність функцій які задовольняють кожне з рівнянь системи.

До нормальної системи рівнянь першого порядку за допомогою введення нових змінних зводиться кожне диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної.

І навпаки, нормальну систему рівнянь (1.59) можна звести до диференціального рівняння го порядку методом виключення змінної.

Нормальну систему двох диференціальних рівнянь задають у вигляді:

або

де невідомі функції.

Зразок виконання контрольного завдання №5.

Розв’язати нормальні системи диференціальних рівнянь методом виключення змінної:

Розв'язання.

Знайдемо розв’язки системи методом виключення змінної.

Диференціюємо друге рівняння системи по змінній

Підставимо в отриману рівність замість праву частину першого рівняння системи:

Виразимо із другого рівняння системи і підставимо в останню рівність:

лінійне неоднорідне диф. рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (1.46).

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння;

За формулою (1.44) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

тобто число не є коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.49), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомий коефіцієнт, який необхідно знайти. Для цього диференціюємо вираз частинного розв'язку

Підставимо в отримане диф. рівняння:

поділимо обидві частини рівності на

Тому тоді

Із другого рівняння системи виразимо:

Відповідь.

де довільні сталі.

При розв'язуванні заданої системи можна спочатку диференціювати по її перше рівняння .

Виконуючи відповідні підстановки і перетворення, отримаємо відповідь:

де довільні сталі.

На перший погляд викликає сумнів у тотожності виразів довільних сталих біля функцій і .

Переконатись у відповідності розв'язків системи диф. рівнянь при диференціюванні першого її рівняння із наведеними у зразку виконання (де спочатку диференціювали друге рівняння системи) можна, наприклад, позначивши:

Після цього перевіряють рівності: і , справедливість яких доводить тотожність відповідей.