1.6. Диференціальні рівняння першого порядку, які зводяться до лінійних. Рівняння Бернуллі і Ріккаті

Рівнянням Бернуллі називається диф. рівняння виду: (1.15) де і задані і неперервні на деякому проміжку функції, . Якщо тоді рівняння (1.15) є лінійним диф. рівнянням; якщо то рівняння (1.15) є диф. рівнянням з відокремлюваними змінними. При , заміною рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння. Але, зазвичай, загальний розв'язок рівняння (1.15) шукають методом Бернуллі, тобто за допомогою підстановки (1.13) де невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна, але не рівна тотожно нулю. При крім розв'язку рівняння Бернуллі (1.15) має розв'язок

Рівняння (1.15) запропонував у 1695 році Якоб Бернуллі, а в 1697 р. його братом Йоганом Бернуллі це рівняння було розв'язано.

Диференціальне рівняння виду: (1.16) де , задані функції, називається рівнянням Ріккаті. Якщо сталі числа, тоді рівняння (1.16) є диф. рівнянням з відокремлюваними змінними. У загальному випадку диф. рівняння Ріккаті не інтегрується у квадратурах, але, якщо відомий який-небудь його частинний розв'язок то заміною рівняння Ріккаті зводиться до диф. рівняння Бернуллі.

Зразок виконання контрольного завдання №1.

Знайти частинний розв'язок або частинний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними:

Розв'язання.

Поділимо обидві частини диф. рівняння на

диф. рівняння з відокремлюваними змінними (1.5), у якому

тоді задане рівняння запишемо у вигляді:

домножимо обидві частини рівняння на

поділимо обидві частини рівняння на вираз

де довільна стала;

Знайдемо методом заміни змінної (таблиця 2):

де довільна стала.

загальний інтеграл заданого диф. рівняння.

тоді визначимо значення підставивши в загальний інтеграл значення

тоді

частинний інтеграл диф. рівняння.

Відповідь.

Зразок виконання контрольного завдання №2.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Маємо диференціальне рівняння Бернуллі (1.15) виду

в якому

Використаємо метод Бернуллі. Загальний розв'язок будемо шукати у вигляді (1.13):

де невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна, але не рівна тотожно нулю.

Диференціюємо по підстановку (1.13): .

Підставимо вирази і у задане диф. рівняння:

Нехай тоді

диф. рівняння з відокремлюваними змінними; нехай тоді

Поділимо обидві частини рівняння на підставимо знайдену функцію в рівняння диф. рівняння з відокремлюваними змінними;

Загальний розв'язок заданого рівняння, згідно (1.13), дорівнює:

За умовою Підставимо значення в загальний розв'язок: звідки

частинний розв'язок.

Відповідь.