2.4. Лінійні однорідні диф. Рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Велика кількість технічних задач приводить до лінійних диферен-ціальних рівнянь другого порядку, які мають сталі коефіцієнти.

Розглянемо лінійне однорідне диф. рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами: (1.41) де і сталі числа. Для розв'язування диференціального рівняння (1.41) використовують квадратне рівняння, яке називається характеристичним рівнянням диф. рівняння (1.41): (1.42) де число (дійсне або комплексне), яке необхідно знайти. Нехай корені характеристичного рівняння, його дискримі-нант. 1. Якщо корені характеристичного рівняння (1.42) є різними дійсними числами ( ), тобто то диф. рівняння (1.41) має загальний розв'язок: (1.43) де довільні сталі. 2. Якщо корені характеристичного рівняння (1.42) є комплексно-спряженими числами ( ), тобто то диф. рівняння (1.41) має загальний розв'язок: (1.44) 3. Якщо корені характеристичного рівняння (1.42) є рівними між собою дійсними числами ( ), тобто то диф. рівняння (1.41) має загальний розв'язок: (1.45)

Розв'язати диф. рівняння

Розв'язання.

Заданому диф. рівнянню відповідає характеристичне рівняння (1.42):

яке за теоремою Вієта має два різні дійсні корені Тоді, використовуючи формулу (1.43), отримаємо загальний розв'язок заданого однорідного диф. рівняння із сталими коефіцієнтами:

де довільні сталі.

Відповідь.

Розв'язати диф. рівняння

Розв'язання.

Заданому диф. рівнянню відповідає характеристичне рівняння (1.42)

тобто

За формулою (1.44) загальний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Відповідь.

Розв'язати диф. рівняння .

Розв'язання.

Запишемо характеристичне рівняння:

Характеристичне рівняння можна розв'язати за теоремою Вієта або записати у його лівій частині квадрат суми: звідки

За формулою (1.45) загальний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Розв'яжемо задачу Коші, використавши початкові умови:

, тоді підставимо в загальний розв'язок звідки

Підставивши в останню рівність та використавши початкову умову отримаємо: звідки

Підставивши у загальний розв'язок заданого рівняння, отримаємо його частинний розв'язок:

Відповідь.

Зразок виконання контрольного завдання №3.

Розв'язати диференціальне рівняння: .

Розв'язання.

характеристичне рівняння.

За формулою (1.43) загальний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

тоді

тоді звідки

тоді

Відповідь.