1.4. Диференціальні рівняння, які зводяться до однорідних диференціальних рівнянь го порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння виду: (1.10) де задані числа. Якщо , (1.11) де єдиний розв'язок системи рівнянь рівняння (1.10) зводиться до однорідного диф. рівняння (1.9). Якщо тоді, використовуючи заміну (1.11 ) рівняння (1.10) зводиться до диф. рівняння з відокремлюваними змінними (1.5).

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

Маємо диф. рівняння виду (1.10), в якому

.

розв'яжемо систему рівнянь:

Віднімемо почленно від першого рівняння системи друге.

Із першого рівняння системи:

Здійснимо підстановку за формулами (1.11):

Виразимо із підстановки: і підставимо у задане рівняння:

однорідне диф.рівняння.

Дане диф. рівняння розв'язане (приклад, стр. 16, 17).

Загальний інтеграл рівняння має вигляд:

де довільна стала.

Використавши підстановку отримаємо загальний інтеграл заданого рівняння:

де довільна стала.

Відповідь. де довільна стала.

1.5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду: , (1.12) де і задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Термін "лінійне" рівняння пояснюється тим, що невідома функція та її похідна входять до рівняння окремими доданками першого степеня. Є кілька методів інтегрування лінійного диф. рівняння (1.12).

Метод Бернуллі інтегрування лінійного диф. рівняння першого порядку полягає в тому, що загальний розв'язок цього рівняння шукають у вигляді добутку: (1.13) де невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна, але не рівна тотожно нулю.

Знайдемо похідну виразу (1.13) за правилом похідної добутку (таблиця №1): Підставимо праву частину останньої рівності і підстановки (1.13) у задане диф. рівняння замість і відповідно:

Виберемо функцію так, щоб тоді

Дві останні рівності є диференціальними рівняннями, які необхідно розв'язати:

диф. рівняння з відокремлюваними змінними (1.5).

звідки

де довільна стала;

тоді

Нехай тоді деякий частинний розв'язок рівняння має вигляд:

Розв'яжемо рівняння , підставивши в нього знайдений розв'язок

(домножимо обидві частини на )

звідки

Отже, загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння першого порядку (1.12) дорівнює: (1.14) де довільна стала. Формула (1.14) загального розв'язку лінійного диф. рівняння є непростою для запам'ятовування, тому при розв'язуванні даного рівняння методом Бернуллі зазвичай виконують перетворення із конкретними заданими функціями і

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

Задано лінійне диф. рівняння першого порядку, в якому Використаємо метод Бернуллі. Загальний розв'язок будемо шукати у вигляді (1.13):

де невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна, але не рівна тотожно нулю.

Диференціюємо по підстановку (1.13): .

Підставимо вирази і у задане диф. рівняння:

Нехай тоді
диф. рівняння з відокремлюваними змінними; (домножимо обидві частини на ) (поділимо обидві частини на ) нехай тоді за властивістю логарифмів:	підставимо знайдену функцію у рівняння (домножимо обидві частини на ): тоді за означенням первісної і невизначеного інтеграла маємо:

Загальний розв'язок заданого рівняння, згідно (1.13), дорівнює:

Знайдемо частинний розв'язок заданого диф. рівняння, використавши початкову умову: Підставимо значення в загальний розв'язок: звідки

Відповідь.

Сила струму в електричному колі з опором і коефіцієнтом самоіндукції задовольняє диференціальне рівняння де електрорушійна сила.

Знайти залежність сили струму від часу, якщо де і

Розв'язання.

Поділимо обидві частини диф. рівняння на тоді рівняння лінійне диф. рівняння (1.13), в якому ,

Для знаходження загального розв'язку заданого диф. рівняння використаємо формулу (1.14):

Зокрема, Нехай тоді

Тоді,

Знайдемо інтеграл методом інтегрування частинами (таблиця 2):

Знайдемо інтеграл методом інтегрування частинами (таблиця 2):

Отже,

Звідси,

поділимо обидві частини рівності на вираз :

Силу струму знаходимо із виразу:

звідки

загальний розв'язок диференціального рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші для заданого диф. рівняння, використавши початкову умову:

звідки

підставимо знайдений вираз у загальний розв'язок:

частинний розв'язок.

Відповідь.