Національний університет біоресурсів і природокористування України

Ніжинський агротехнічний інститут

Кафедра природничо-фундаментальних дисциплін

Муквич М.М.

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Навчальний посібник з дисципліни

"Вища математика"

для самостійної роботи студентів

технічних напрямів підготовки

Ніжин –2013

УДК 517.9 (073)

Рекомендовано до друку Вченою Радою

Ніжинського агротехнічного інституту

Національного університету біоресурсів і природокористування України

Протокол №9 від 26.06.2013 р.

Рецензенти:

В.М. Лось, к. ф.-м. наук, доцент, завідувач кафедри вищої та прикладної математики Чернігівського державного технологічного університету

Н.В. Майбородіна, к. ф.-м. наук, старший викладач кафедри природничо-фундаментальних дисциплін Ніжинського агротехнічного інституту

Муквич М.М.

Звичайні диференціальні рівняння: навчальний посібник з дисципліни "Вища математика" для самостійної роботи студентів технічних напрямів підготовки / Муквич М.М. – Ніжин: Видавець ПП Лисенко М.М, 2013. – 92 с.

У навчальному посібнику наведено короткі теоретичні відомості розділу «Диференціальні рівняння» з дисципліни "Вища математика", індивідуальні контрольні завдання та зразки їх розв’язань. До індивідуальних контрольних завдань подано відповіді.

Для самостійної роботи студентів напрямів підготовки:

6.100101 «Енергетика та електротехнічні системи в агропромисловому комплексі» та 6.100102 «Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва».

© Муквич М.М., 2013

© ПП Лисенко М.М., 2013

ВСТУП

Звичайні диференціальні рівняння широко застосовуються у дисциплінах професійної підготовки майбутніх інженерів-електриків та інженерів-механіків агропромислового виробництва.

Тому метою даного навчального посібника є створення сприятливих умов для самостійного формування в студентів навичок до використання відповідних математичних методів у технічних розрахунках та дослідженнях.

У навчальному виданні розглянуто контрольні завдання згідно тем індивідуальних (розрахунково-графічних) завдань, наведених у програмах з навчальної дисципліни «Вища математика», для підготовки фахівців ОКР «бакалавр» напрямів підготовки:

6.100101 «Енергетика та електротехнічні системи в агропромисловому комплексі» у вищих навчальних закладах II – IV рівнів акредитації Міністерства аграрної політики України (автори Ю.Б. Гнучій, Н.Г. Батечко, О.Ю. Дюженкова, Р.Ф. Овчар, О.І. Завгородній. – Київ: Аграрна освіта, 2010);

6.100102 «Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва» у вищих навчальних закладах II – IV рівнів акредитації Міністерства аграрної політики України (автори Ю.Б. Гнучій, Н.Г. Батеч-ко, О.Ю. Дюженкова, Р.Ф. Овчар, О.І. Завгородній, В.І. Кравець. – Київ: Аграрна освіта, 2010).

Найбільш важливі терміни та умови прикладів посібника виділено курсивом. Терміни, які означуються при вивченні даних розділів дисципліни, виділено напівжирним курсивом.

Початок і кінець наведеного розв’язку завдання в навчальному посібнику позначено символами та відповідно.

Звичайні диференціальні рівняння

(Короткі теоретичні відомості.)

При розв'язуванні різноманітних технічних задач, зазвичай, створюють математичні моделі у вигляді рівностей, які містять невідомі функції та їх похідні. Такі рівності називають диференціальними рівнян-нями.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо функція, яку необхідно знайти, є функцією однієї змінної. Існують диференціальні рівняння в частинних похідних, розв'язуючи які, необхідно знайти функцію багатьох змінних.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить незалежну змінну (аргумент), невідому функцію , а також похідні цієї функції.

Наприклад, рівняння є звичайним диференціальним рівнянням, у якому невідома функція.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, яка входить в це рівняння.

Наприклад, рівняння є диференціальним рівнян-ням третього порядку.

Розв’язком диференціального рівняння на деякому інтервалі називається диференційовна на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в дане рівняння перетворює його на тотожність відносно незалежної змінної при . Графік розв'язку називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Знаходження невідомої функції (розв'язку) яка входить в диференціальне рівняння, називають розв'язанням або інтегруванням цього диференціального рівняння.

§1. Диференціальні рівняння першого порядку та деякі види диференціальних рівнянь вищих порядків.

1.1. Загальні поняття. Задача Коші.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду: (1.1) де незалежна змінна, невідома функція.

Рівняння (1.1) може не містити явно незалежну змінну або невідому функцію але обов'язково має містити похідну невідомої функції.

Диференціальне рівняння (1.1), у якому неможливо виразити похідну невідомої функції називають неявним диференціальним рівнянням (або диференціальним рівнянням у неявній формі, або диференціальним рівнянням нерозв'язним відносно похідної невідомої функції). Наприклад: або

Якщо у диференціальному рівнянні (1.1) можна виразити похідну невідомої функції: (1.2) (де незалежна змінна, невідома функція), то його називають диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

Диференціальне рівняння є неявним диференціальним рівнянням першого порядку (1.1), але в ньому можна виразити похідну невідомої функції:

Отримали диференціальне рівняння у нормальній формі (1.2),

в якому

Як відомо, тоді, замінивши у лівій частині останнього рівняння через отримаємо:

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням першого порядку у диференціальній формі (1.3).

У загальному випадку:

диференціальне рівняння першого порядку, записане у вигляді: (1.3) де і відомі функції, називають диференціальним рівнян-ням першого порядку у диференціальній формі.

Очевидно, що не кожне диференціальне рівняння першого порядку можна записати у нормальній (1.2) та диференціальній (1.3) формах. Надалі будемо розглядати диференціальні рівняння виду (1.2), у яких можна виразити похідну невідомої функції.

Нехай у диференціальному рівнянні (1.2) функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області площини і точка Тоді існує єдиний розв'язок рівняння (1.2), який задовольняє умову: або . (1.4)

Розв'язування рівняння (1.2) пов'язане із знаходженням невизначених інтегралів, тобто дане рівняння має нескінченну множину

різних розв'язків виду , де деяка функція, довіль-

на стала. Графіками цих розв'язків є множина інтегральних кривих, які утворюються у відкритій області при паралельному перенесенні графіка функції по осі на довільне число (рис. 1). Тоді, геометрично, теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива (рис. 1).

Умову (1.4), яка означає, що роз-в'язок набуває наперед задане значення при на-зивають початковою умовою розв'язку і записують у вигляді: або (1.4 ) Задача знаходження розв'язку диф. рівняння (1.2), який задовольняє початкову умову (1.4 ), називаєть-ся задачею Коші.

Розв'язати задачу Коші означає виділити з множини інтегральних кривих ту криву, яка проходить через задану точку

Точки площини, в яких не виконуються умови теореми Коші називаються особливими. Через кожну особливу точку проходить кілька інтегральних кривих або не проходить жодної. Розв'язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдиності розв'язку, називають особливим розв'язком. Графік особливого розв'язку називають особливою інтегральною кривою. (У даному посібнику питання, пов'язані із знаходженням та аналізом особливих розв'язків диференціальних рівнянь, не розглядаються.)

Нехай диференціальне рівняння (1.2) задовольняє в області умови теореми Коші.

Функція де довільна стала, називається загальним розв'язком диференціального рівняння (1.2), в області , якщо вона задовольняє умови: функція є розв'язком диф. рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини; для будь-якої точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову . Частинним розв’язком рівняння (1.2) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні . Загальний розв'язок диференціального рівняння, знайдений у неявній формі називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Частинний розв'язок, знайдений у неявній формі називають частинним інтегралом диференціального рівняння.

Кожній точці диференціальне рівняння (1.2) ставить у відповідність значення кута тобто рівняння (1.2) геометрично задає поле напрямів (зазвичай, поле напрямів зображують стрілками). А розв'язок диференціального рівняння (1.2) задає інтегральну криву, яка в кожній власній точці "дотикається" до поля напрямів. Знаючи поле напрямів диф. рівняння, можна наближено побудувати його інтегральні криві. Для полегшення побудови поля напрямів використовують ізокліни.

Ізокліною називається крива на площині в кожній точці якої дотичні до інтегральних кривих мають один напрям.

Якщо задачу про знаходження всіх розв’язків диференціаль-ного рівняння вдається звести до обчислення скінченого числа інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операцій, то диференціальне рівняння інтегрується в квадратурах (зводиться до квадратур). Клас інтегровних в квадратурах диф. рівнянь дуже вузький.