7.Нахождение локальных экстремумов

Дана функция 15. Воспользуемся критериями оптимальности, чтобы найти экстремумы.

1.находим производные функции

fx0 = e x2+xy y2 + (x + y 6)( 2x + y)e x2+xy y2

fy0 = e x2+xy y2 + (x + y 6)(x 2y)e x2+xy y2

2.приравниваем производные к нулю и собираем систему уравнений

(

3. делим оба уравнения на e x2+xy y2 , т. к. он не равен 0

(

4.вычитаем из первого уравнения второе

(x + y 6)( 2x + y x + 2y) = 0

5.собираем воедино, умножаем

3x2 + 3y2 + 18x 18y = 0

6.делим всё на 3

x2 y2 6x + 6y = 0

7.собираем из этого квадраты разниц

(x2 (2 3)x + 9) 9 (y2 (2 3)y + 9) + 9 = 0 ) (x 3)2 (y 3)2 = 0

8.из этого следует логический вывод, что x = y:

(x 3)2 = (y 3)2

9.упрощаем уравнение из 4, подставив в него вместо y x

1 + (x + x 6)( 2x + x) = 0 ) 2x2 6x 1 = 0

18

12.для того, чтобы проверить экстремум, нужно найти гессианы функции в обоих точках fxx00 = ( 2x + y)e x2+xy y2 + ( 4x y + 12)e x2+xy y2 +

+( 2x2 xy + y2 + 12x 6y)( 2x + y)e x2+xy y2 =

=e x2+xy y2 ( 2x + y 4x y + 12+

+4x3 24x2 3xy2 + 24xy + y3 6y2) =

=e x2+xy y2 (4x3 24x2 3xy2 + 24xy 6x + y3 6y2 + 12);

fxy00 = (x 2y)e x2+xy y2 + ( x + 2y 6)e x2+xy y2 +

+( 2x2 xy + y2 + 12x 6y)(x 2y)e x2+xy y2 =

=e x2+xy y2 (x 2y x + 2y 6

2x3 + 3x2y + 12x2 + 3xy2 30xy 2y3 + 12y2) =

=e x2+xy y2 ( 2x3 + 3x2y + 12x2 + 3xy2 30xy 2y3 + 12y2 6);

fyy00 = (x 2y)e x2+xy y2 + ( x 4y + 12)e x2+xy y2 +

+(x2 xy 2y2 6x + 12y)(x 2y)e x2+xy y2 =

=e x2+xy y2 (x 2y x 4y + 12+

+x3 3x2y 6x2 + 24xy + 4y3 24y2) =

=e x2+xy y2 (x3 3x2y 6x2 + 24xy + 4y3 24y2 6y + 12):

13.так как x = y, сократим уравнения для упрощения подсчётов

fxx00 = 2e x2 (x3 3x2 3x + 6); fxy00 = 2e x2 (x3 3x2 3);

fyy00 = 2e x2 (x3 3x2 3x + 6) fxx00 :

14.подставим первую найденную стационарную точку в уравнения

19

20

экстремальности).

Проверка найденного решения. Для проверки верности нахождения экстремумов воспользуемся графиками функции вблизи стационарных точек.

Рис. 7: График функции вблизи точки минимума

Рис. 8: График функции вблизи точки максимума

Из графиков выше видно, что найденные стационарные точки являются экстремумами функции.

Теперь проверим экстремумы численно. Для начала вычислим значение функции в ближайших точках

pp !

21

Вывод. Значение функции в ближайших к экстремуму точках больше, чем значение минимума ) точка минимума найдена верно.

Проверим максимум функции, определив значение функции в ближайших точках

Вывод. Значение функции в ближайших к экстремуму точках меньше, чем значение максимума ) точка максимума найдена верно.

22