2.Геометрические и физические свойства производных
Геометрический смысл первой производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной k графику функции y = f(x) в этой точке y0(x0) = tg( ).
Физический смысл первой производной. Если y(t) закон прямолинейного движения, то y0(t) выражает скорость движения в момент времени t: = y0(t) (мгновенная скорость).
Геометрический смысл второй производной. Вторая производная определяет вид функции. Если y00(x) > 0, то функция является вогнутой в таком интервале (её график лежит выше касательной), если y00(x) < 0, то функция является выпуклой (её график лежит ниже касательной), при y00(x) = 0 функция меняет выпуклость и вогнутость и такая точка называется точкой перегиба.
Физический смысл второй производной. Пусть y(t) закон прямолинейного движения, тогда вторая производная выражает скорость изменения скорости движения этого движения ускорение a = y00(t).
Определение градиента. Пусть задана некоторая функция f(x), где x 2 Rn, а x* некоторая точка из Rn, тогда градиент функции f(x) в точке x*:
0 1
@f(x*)
B@x1 C
BC
B@f(x*)C
BC
rf(x*) = B |
@x... 2 |
C; где rf(x*) 2 Rn |
(1) |
B |
@f(x*)C |
|
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
B |
@xn |
C |
|
@ |
|
A |
|
Геометрический смысл градиента. Направление градиента в данной точке является направлением наискорейшего возрастания функции в данной точке. Направление антиградиента: rf(x) в данной точке является направлением наискорейшего убывания в данной точке. Градиент и линии уровня ортогональны.
Если ' угол возрастания функции в точке x* по направлению градиента, то:
krf(x)k = tg(') |
(2) |
Определение гессиана. Пусть задана некоторая функция f(x), где x 2 Rn, а x* некоторая точка, тогда гессиан функции f(x) в точке x*:
Hf(x*) = |
2f x* |
|
@@x(ixj ) ; где i; j 2 [1; n] |
(3) |
Свойства гессиана. H = HT, Aui = iui.
5
3.Критерии оптимальности
Необходимое условие экстремальности первого порядка. Если x* локальный экстремум, то @f(x*) = 0 , если @f(x*) 6=,0то x* не экстремум. x* стационарная точка, если @ f(x*) = 0. Если x* стационарная точка, то x* может быть локальным экстремумом.
Достаточное условие экстремальности второго порядка. Если x* стационарная точка и A 0, то x* локальный минимум; если A 0, то x* локальный максимум; если A знакопеременная, то x* не экстремум; если A < 0, то нужны дополнительные исследования.
6