5.Числовые характеристики симметричной квадратной матрицы

5.1.Определение квадратной матрицы и её свойства.

Пусть A = ai;j квадратная матрица n n (порядок матрицы n).

Определитель матрицы. Определителем матрицы A назвается число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, удовлетворяющих следующим условиям:

каждое слагаемое это произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

слагаемое меняет знак, если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают

нечётное число, иначе слагаемое не меняет знак.

Число обусловленности. Число обусловленности оценивает близость матрицы A к вырожденной. Если cond A 2 [1; 10], матрица считается хорошо обусловленной, и если cond A > 10, матрица считается плохо обусловленной.

Геометрическое значение числа обусловленности показано на рисунке 3. Пунктирной линией обозначена функция при небольшом изменении коэффициентов. При хорошем значении числа обусловленности значение решений системы меняется незначительно (слева). При плохой обусловленности решения системы имеют более большие отклонения (по центру). В случае вырожденной матрицы (справа) уравнения линейно независимы.

Рис. 3: Число обусловленности

11

Собственные числа и векторы. Пусть A квадратная матрица, u собственный вектор матрицы, собственное число матрицы, тогда:

Собственный вектор задает направление, на котором действие оператора сводится к растяжению, тогда коэффициент растяжения будет собственным числом.

Сингулярные числа. Пусть A квадратная матрица, сингулярное число, e1;2 векторы единичной длины, тогда:

Геометрический смысл сингулярных чисел заключен в степени деформации матрицы. Пример показан на рисунке 4, где A = e1 e2 сингулярное разложение, где это элементы, лежащие на главной диагонали (сингулярные числа), а все остальные являются нулевыми, U унитарная матрица, состоящая из левых сингулярных векторов, V унитарная сопряженно-транспонированная матрица, состоящая из правых сингулярных векторов.

Рис. 4: Сингулярные числа

5.2.Практическое задание №1

12

13

Рис. 5: Построенный эллипс

14