- •Классификация
- •Классификация задач оптимизации
- •Классификация методов оптимизации
- •Геометрические и физические свойства производных
- •Критерии оптимальности
- •Линии уровня
- •Построение линий уровня для функции первого порядка
- •Построение линии уровня для функции второго порядка
- •Числовые характеристики симметричной квадратной матрицы
- •Определение квадратной матрицы и её свойства.
- •Практическое задание №1
- •Практическое задание №2
- •Формула Тейлора для функции одной и нескольких переменных
- •Квадратичная аппроксимация функции
- •Нахождение локальных экстремумов
6.Формула Тейлора для функции одной и нескольких переменных
Формула Тейлора для функции одной переменной:
f (x) = f x* |
+ f0 |
x* |
x x* |
+ |
1 |
|
x* |
|
x x* |
|
2 |
+ o |
|
x x* |
|
2 |
(13) |
||||||
2f00 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Формула Тейлора для функции нескольких переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = f x* + rf x* |
|
x x* + |
|
|
x x* |
|
Hf |
x* x x* + o kx |
x*k2 |
(14) |
|||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||
6.1. Квадратичная аппроксимация функции
Дана функция |
|
f(x; y) = (x + y 6) e x2+xy y2 |
(15) |
Дана точка x* : (1; 1), нужно провести квадратичную аппроксимацию функции. Для проведения квадратичной аппроксимации функции 15, необходимо вычислить формулу Тейлора для функции нескольких переменных (см. формулу 14).
находим f(x*) f(1; 1) = (1 + 1 6)e( 1)2+1 1 ( 1)2 = 4e 1
находим градиент функции (rf(x*))
fx0 = e x2+xy y2 + (x + y 6)( 2x + y)e x2+xy y2
fy0 = e x2+xy y2 + (x + y 6)(x 2y)e x2+xy y2
fx0 (1; 1) = 5e 1 |
|
|
|
fy0 (1; 1) = 5e 1 |
5e 1 |
|
|
rf(1; 1) = 5e 1 |
|
||
находим гессиан функции (Hf(1; 1)) |
|||
fxx00 |
= e x2+xy y2 (12 24x2 + 4x3 6y2 + y3 6x + 24xy 3xy2) |
||
fxy00 |
= e x2+xy y2 ( 2x3 30xy + 3xy2 + 12x2 + 3x2y 6 + 12y2 2y3) |
||
fyy00 |
= e( x2 + xy y2)(12 + x3 6y + 24xy 24y2 + 4y3 6x2 3x2y) |
||
fxx00 (1; 1) |
= 2e 1 |
|
|
fxy00 (1; 1) |
= 10e 1 |
|
|
fyy00 (1; 1) |
= 2e 1 |
|
|
|
2e 1 |
10e 1 |
|
Hf(1; 1) = 10e 1 |
2e 1 |
||
16
Квадратичная аппроксимация функции 15 в матричном виде выглядит следующим обра-
зом |
|
|
|
|
|
|
5 |
T |
x2 |
|
|
1 |
|
x2 |
|
1 |
T |
|
|
5 |
1 |
|
x2 |
|
1 |
! |
||||
f(x1; x2) = e 1 |
|
4 + |
|
5 |
x1 |
|
1 |
+ |
x1 |
|
1 |
|
1 |
|
5 |
|
x1 |
|
1 |
(16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразуем 16 в безматричный вид. |
|
|
|
|
|
5x1 + x2 + 4 |
|
|
x2 |
|
1 |
! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f(x1; x2) = e 1 |
|
4 + 5(x1 |
|
|
1) + 5(x2 |
|
|
1) + |
x1 5x2 |
+ 4 |
|
T |
x1 |
|
1 |
|
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=e 1 (5x1 + 5x2 14 + (x1 + 5x2 + 4)(x1 + 1) + ( 5x1 + x2 + 4)(x2 1)) =
=e 1 x21 + 15x1 + x22 + 13x2 14
Квадратичная аппроксимация функции 15 выглядит следующим образом
f(x1; x2) = e 1 x12 + 15x1 + x22 + 13x2 14 |
(17) |
17