1.5.2. Закон Стефана – Больцмана

Сумарну кількість тепла (для всього спектра – довжина хвиль від  = 0 до  = ), яке випромінюється тілом з одиниці поверхні F за одиницю часу і залежить від температури тіла та його властивостей, називають випромінювальною здатністю тіла Е, Дж/(м²год):

. (1.32)

За однакової температури випромінювання енергія розподіляється по-різному, залежно від довжини хвиль, тому для того, щоб врахувати це, вводять поняття про спектральну інтенсивність випромінювання І:

, (1.33)

що є відношенням випромінювальної здатності до довжин хвиль від λ до , тобто до інтервалу хвиль .

Для встановлення залежності між випромінювальною здатністю та інтенсивністю випромінювання необхідно вираз (1.33) проінтегрувати:

.

У 1900 р. М. Планк, розробляючи квантову теорію випромінювання, теоретично одержав такий закон розподілу енергії, яку випромінює абсолютно чорне тіло залежно від довжини хвиль:

, (1.34)

де І₀ – спектральна інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла, Дж/(м²год); λ – довжина хвилі, м; Т – абсолютна температура тіла, К; е – основа натуральних логарифмів; с₁ = 3,1710^-6 і с₂ = 1,4410^-2 – константи.

Графічно цей закон показано на рис. 1.7. З цього графіка зрозуміло, що, почина­ючи від нуля, інтенсивність випромінювання швидко зростає із збільшенням довжини хвилі, досягаючи максимуму за деякого її значення, після чого зменшується.

Рис. 1.7. Залежність І від λ і Т за рівнянням Планка

Максимальна інтенсивність випромінювання за підвищення температури зміщується в область коротких хвиль.

Рівняння (1.34) дає можливість виразити випромінювальну здатність тіл через інтенсивність випромінювання.

Тобто

. (1.35)

Рівняння (1.35) після деяких перетворень з подальшим інтегруванням дає можливість одержати вираз для визначення повної енергії випромінювання або випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла:

, (1.36)

де К₀ = 5,67 · 10^-8 Вт/(м²К) – константа випромінювання абсолютно чорного тіла.

Рівняння (1.36) називається законом Стефана–Больцмана

Цю залежність, ще до появи рівняння Планка (1.35), було знайдено експериментальним способом Стефаном і підтверджено теоретично. Тобто, за цим законом, випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла є пропорційною до четвертого степеня його абсолютної температури.

Для більшої зручності рівняння (1.36) записують у такому вигляді:

, (1.36а)

де с₀ = К₀·10⁸ = 5,67 Вт/(м²·К⁴) – коефіцієнт випромінювання абсолютно чорного тіла.

Експериментальні дослідження показали, що закон Стефана–Больцмана можна застосувати і до сірих тіл. В цьому випадку він запишеться так:

, (1.37)

де – відносний коефіцієнт випромінювання, або ступінь чорноти сірого тіла; с – коефіцієнт випромінювання сірих тіл, величина якого є меншою за с₀.

Величина змінюється в межах 0–1. Значення наводяться в довідниковій та спеціальній літературі.

1.5.3. Закон Кірхгофа

Закон Кірхгофа встановлює зв’язок між поглинальною і випромінювальною здатністю будь-якого тіла.

Нехай поверхня тіла І буде сірою з температурою Т⁰, а поверхня тіла ІІ – абсолютно чорною з однаковою температурою в усіх точках (рис. 1.8). Поверхня тіла ІІ випромінює енергію , яка падає на тіло І. Частина цієї енергії поглинається тілом І (А₁ – коефіцієнт поглинання тіла І).

Рис. 1.8. Схема теплових потоків між сірим та абсолютно чорним тілом

Своєю чергою, тіло І випромінює енергію . Позначимо поглинальну здатність сірого тіла . Для абсолютно чорного тіла А₂ = А₀ = 1. Нехай температура сірого тіла є вищою, ніж абсолютно чорного, тобто Т₁ > Т₂. Тоді кількість тепла (на одиницю поверхні за одиницю часу), що передається сірим тілом випромінюванням:

.

У разі вирівнювання температур обох тіл повинна настати теплова рівновага, за якої :

,

звідки

. (1.38)

Одержана залежність справедлива для будь-яких інших сірих тіл, поглинальні здатності яких відповідно А₂, А₃ тощо. Тому рівняння (1.38) можна записати як закон Кірхгофа у вигляді

, (1.39)

для будь-якого тіла відношення випромінювальної здатності до поглинальної за однакової температури є величиною сталою, що дорівнює випромінювальній здатності абсолютно чорного тіла.

Підставляючи в рівняння (1.39) значення Е₁, Е₂, Е₃ тощо, отримаємо

; ;

і, скорочуючи обидві частини рівняння на , одержимо

. (1.40)

Порівнюючи рівняння (1.39) з виразом  = с/с_о, одержимо, що А = , тобто поглинальна здатність тіла і ступінь чорноти рівні між собою.

З рівняння (1.39) випливає, що випромінювальна здатність всіх тіл менша від випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла за тієї самої температури.

Теплові промені, падаючи на шорстку поверхню, багаторазово відбиваються від неї, що приводить до кращого поглинання променевої енергії порівняно з поглинанням гладкою поверхнею. Тоді, відповідно до закону Кірхгофа, шорсткі поверхні повинні мати більшу випромінювальну здатність порівняно з гладкими поверхнями. І навпаки, випромінювальна здатність полірованих тіл, які добре відбивають промені, що падають на них за законом Кірхгофа, є низькою.

Тому для захисту від випромінювання та для зменшення променевої енергії застосовують екрани.