1.4.2. Закон Фур’є

Основним законом передачі тепла теплопровідністю є закон Фур’є, згідно з яким кількість тепла dQ, що передається за рахунок теплопровідності через елемент поверхні dF, перпендикулярний до теплового потоку, за час dτ, прямо пропорційна до температурного градієнта , до поверхні dF і до часу dτ:

(1.9)

або густина теплового потоку

. (1.10)

Знак мінус перед правою частиною рівнянь (1.4) і (1.5) вказує на те, що тепло рухається в бік зменшення температури.

Коефіцієнт пропорційності λ називається коефіцієнтом теплопровідності. Розмірність коефіцієнта теплопровідності визначається з рівняння (1.4):

.

Коефіцієнт теплопровідності показує, яка кількість тепла (в Дж) проходить внаслідок теплопровідності за одиницю часу через одиницю поверхні теплообміну у разі зменшення температури на один градус на одиницю довжини нормалі до ізотермічної поверхні.

Коефіцієнт теплопровідності характеризує здатність тіл проводити тепло і тому є фізичним параметром, що залежить від природи речовини, його структури, температури та деяких інших чинників. Коефіцієнт теплопровідності газів (за нормальних умов) знаходиться в межах – 0,006–0,165 Вт/(мград), крапельних рідин – 0,1–0,7 Вт/(мград), теплоізоляційних матеріалів – 0,006–0,175 Вт/(мград), чистої міді – 340–394 Вт/(мград), сталі Ст.3 – 45–52 Вт/(мград).

Коефіцієнти теплопровідності речовин залежать від температури і тиску. Для газів вони підвищуються із зростанням температури і мало залежать від тиску, для рідин із підвищенням температури переважно зменшуються. Винятком є вода, коефіцієнт теплопровідності якої дещо зростає із підвищенням температури до 130 С і за подальшого її зростання починає зменшуватися. Теплопровідність твердих тіл з підвищенням температури здебільшого зростає.

1.4.3. Диференційне рівняння теплопровідності

Процес розповсюдження тепла теплопровідністю можна описати математично диференційним рівнянням. Це рівняння отримують на основі закону збереження енергії, приймаючи, що тепло розповсюджується в тілі (середовищі), фізичні властивості якого теплоємність (С), густина (ρ), теплопровідність (λ) – не змінюють­ся ні в часі, ні за напрямком. Для одержання цього рівняння виділено в тілі елемен­тарний об’єм dV = dx dy dz у вигляді паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz (рис. 1.2).

Рис. 1.2. До виведення диференційного рівняння теплопровідності

Кількість тепла, що проходить шляхом теплопровідності всередину виділеного об’єму в напрямку осі х через грань dydz за час dτ, дорівнює

. (1.11)

На протилежній грані паралелепіпеда температура отримує деякий приріст по довжині dx, тобто , і буде дорівнювати .

Кількість відведеного тепла через цю грань за цей самий проміжок часу становить

. (1.12)

Різниця між кількістю теплоти, підведеної до елементарного паралелепіпеда і відведеної від нього, є теплотою, яка внесена в об’єм паралелепіпеда теплопровідністю за напрямком осі х:

. (1.13)

Аналогічно визначають теплоту, внесену за напрямком осей у і z, тобто

; (1.14)

. (1.15)

Повна кількість теплоти, внесеної в елементарний паралелепіпед теплопро­відністю, дорівнюватиме

. (1.16)

Оскільки dx dy dz = dV, то

. (1.17)

Вираз в дужках є оператором Лапласа . Тому

. (1.18)

Згідно із законом збереження енергії приріст кількості тепла в паралелепіпеді за dτ дорівнює зміні тепловмісту (ентальпії) паралелепіпеда, тобто

, (1.19)

де с – теплоємність Дж/кг; ρ – густина кг/м³.

Прирівнюючи рівняння (1.13) і (1.14), отримаємо

. (1.20)

Позначимо і, здійснюючи скорочення, отримаємо остаточно

. (1.21)

Це рівняння називається диференційним рівнянням теплопровідності Фур’є для невстановленого (нестаціонарного) процесу в нерухомому середовищі. Воно визначає температуру в будь-якій точці тіла, через яке тепло передається теплопровідністю.

Величину називають коефіцієнтом температуропровідності, який характеризує теплоінерційні властивості тіла і є фізичною константою. Його розмірність . Чим більший коефіцієнт температуропровідності, тим швидше нагрівається тіло.

Для стаціонарного процесу передачі тепла теплопровідністю, коли температура є постійною в часі, рівняння (1.21) матиме такий вигляд:

. (1.22)

Оскільки коефіцієнт температуропровідності а не може дорівнювати нулеві, то

.

або

. (1.23)

Рівняння (1.23) є диференційним рівнянням теплопровідності в нерухомому середовищі під час встановленого теплового режиму.

Рівняння (1.21) і (1.23) описують розподілення температур під час передачі тепла теплопровідністю в найзагальнішому вигляді, без врахування, наприклад, форми тіла, через яке проводиться тепло. Для конкретних умов ці рівняння повинні бути доповнені граничними умовами, які характеризуються геометричними чинниками.

Існують граничні умови трьох родів:

1. за граничних умов першого роду – задаються розподіленням температури на поверхні тіла як функцією часу;

2. другого роду – задаються густиною теплового потоку q для всієї поверхні тіла як функцією часу;

3. третього роду – задаються температурою оточуючого середовища і законом тепловіддачі між поверхнею тіла і оточуючим середовищем (законом Ньютона – Ріхмана, який розглядається нижче).