Недетерминированные конечные автоматы.

Пусть A⁰ – недетерминированный конечный автомат.

A⁰ = < P⁰ , S⁰ , s₀⁰,φ⁰,F⁰>

F⁰ – множество конечных подмножеств алфавита состояний.

S = {S₀ , S₁ , S₂}

M(S) = {{ S₀ } , { S₁ } , { S₂ } , { S₀ , S₁} , { S₀ , S₂} , { S₁ , S₂} , { S₀ , S_{1 ,} S₂}}

M^* <= M

φ : P*SS – детерминированный алфавит

φ⁰ : P*SM^* - недетерминированный автомат

Отличие недетерминированного автомата состоит в том, что функции перехода может определять не одно состояние, в которое переходит автомат, а некоторое подмножество состояний.

ТЕОРЕМА: Если L(A⁰) – язык который допускается некоторым конечным автоматом A⁰ , то существует детерминированный конечный автомат A который допускает этот же язык.

Преобразование недетерминированного автомата в детерминированный.

Имеется два способа:

1. Общий способ

Пример:

P = {a,b}

S = {I,B,C}

M(S) = {[I] , [B] , [C] , [IB] , [IC] , [BC] , [IBC] , o}

φ( I , a) = [I , c]

φ( I , b) = [B]

φ( B , a) = [C]

φ( B , b) = []

φ( C , a) = [B]

φ( C , b) = [B]

φ( IB , a) = [IC]

φ( IB , b) = [B]

φ( IC , a) = [I ,C , B]

φ( IC , b) = [B]

φ( BC , a) = [BC]

φ( BC , b) = [B]

φ( IBC , a) = [IBC]

φ( IBC , b) = [B]

Вершины IB и BC являются недостижимыми, а вершины 0 нет в выходном сигнале для состояния B, следовательно граф упроститься:

Это общий способ построения автомата.

Недостаток заключается в том, сто в процессе преобразования возникает большое число недостижимых вершин, которые необходимо удалять.

2 способ. Сокращенный способ.

1. Строится заготовка таблицы переходов детерминированного конечного автомата.

2. В качестве начального состояния выбирается начальное состояние недетерминированного автомата и для него строим подмножество состояний, в которое переходим из начального. Строку заносим в заготовку таблицы переходов.

3. Если полученное подмножество состояний или состояния отсутствуют в левой части таблицы переходов, то они заносятся туда и осуществляется переход к пункту 2.

Процесс заканчивается если в результате получения подмножества, мы не получаем новое подмножество , которое создается в левом столбце.

Пример:

Pi / Si	a	b
I	IC	B
IC	ICB	B
B	C	---
ICB	ICB	B
C	B	B

Пример : Недетерминированный конечный автомат.

D – конечная вершина.

Преобразование некоторых типов грамматики к автоматному ввиду.

Утверждение : любой конечный язык, не содержащий пустой цепочки является автоматным языком, следовательно существует автоматная грамматика, порождающая данный язык.

Доказательство данного утверждения заключается в указании способа построения автоматной грамматики, порождающий данный язык.

Пусть задан язык:

L = {x₁ x₂ x₃…x_n} x_i € V_t^*

X_i = a₁a₂a₃…a_m a_i € V_t

Для построения грамматики введем следующие нетерминальные символы: A₁A₂…A_m-1 и следующие правила:

X_i  a₁A₁ A₁ a₂A₂ …A_m-2a_m-1A_m-1 A_m-1a_m

Применяя данную процедуру по всем цепочкам X_i получим множество порождающих правил автоматной грамматики, соответствующей исходному языку.

Рассмотрим контекстно-свободные грамматики.

Контекстно-свободная грамматика является левосторонней , если все ее правила только левосторонние (правосторонняя наоборот) либо заклячительные правила.

Правила вида:

A  xB – правосторонняя, где A,B – нетерминальные символы.

A  Bx – левосторонняя.

A  x – заключительное правило.

Для любой правосторонней или левосторонней грамматики может быть построено эквивалентная ей правосторонняя или левосторонняя автоматная грамматика.

Доказательство:

G = <V_t , Vⁿ , I , R> создается набор правил вида:

A  xB , где x € V_t^*

Предположим, что x_i = a₁a₂…a_m введем нетерминальные символы A₁A2…A_m-1 и добавим правило A  a₁A₁

A₁a₂A₂ A_m-1 a_m-1A_m-1 A_m-1  a_mB либо A_m-1  a_m

Цепочка правил, заканчивающаяся A_m-1  a_mB заменит одно правило A  xB. Цепочка правил, заканчивающаяся A_m-1  a_m заменит правило A  x

Применяя данную процедуру по всем контекстно-свободным грамматикам получим набор правил автоматной грамматики. В любой контекстно-свободной грамматики могут оказаться правила вида AB, она может быть преобразована к контекстно-свободную грамматику не содержащую таких правил.

если ώξ₁ A ξ₂ и есть правило

A  B , B  Cx то применяя эти правила в результате получим:

ξ₁ A ξ₂  ξ₁ B ξ₂  ξ₁ Cx ξ₂ это равносильно тому, что A  Cx

Доказательство: пусть есть правило вида

R = {…AB…BCx}

В этом случае вывод любой цепочки, содержащий нетерминальный символ A, осуществляется следующим образом, пусть есть вывод

ώξ₁ A ξ₂, тогда данная цепочка преобразуется в конечную следующим образом:

ξ₁ A ξ₂  ξ₁ B ξ₂ ξ₁ Cx ξ₂

Равносильно A  Cx

Чтобы исключить цепочку ξ₁ B ξ₂ вместо A , B нужно записать A  Cx.