Тема 5. Методы оптимизации при принятии решений с помощью линейного программирования

Поиск наиболее экономически целесообразных решений называется оптимизационным анализом.

Существует 2 метода оптимизации:

1.Предельный анализ, при котором доходы и затраты известны, задача состоит в том, чтобы найти их оптимальное соотношение, т.е. принять решение при котором не будет убытка.

2.Линейное программирование -это вид математического моделирования, который служит для поиска оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов между работами.

Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса.

Определении оптимальных производственных линий и производственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ограничения на производственные мощности (например, на размер завода или на машинное время) и где принимаются решения о выпуске продукции при наличии ограничений на ресурсы.

Определении оптимальных маршрутов перевозок. В качестве примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся минимизировать свои расходы на перевозки продукции от места производства на склад.

Линейное программирование основано на методах:

1.Решения системы уравнений

2.Графическом- построение графика по заданной функции и определение оптимальных решений с учетом ограничительных линий на графике

3.Большинство управляющих бизнесом, которым действительно необходимо решать задачи линейного программирования, ограничиваются их постановкой и передают на решение техническим специалистам, а те вводят эти данные в ЭВМ,которая решает задачу.

Пример решения задачи оптимизации ресурсов линейного программирования 2 способами:

Гончарное предприятие выпускает два вида глиняной посуды.

Первый — это простой глиняный горшок с упроченным ободком. Второй — это меньшая по размеру и более изящная ваза с ручками и орнаментом по бокам. Для изготовления простого глиняного горшка требуются 4 кг. глины и 1 ч работы,а его реализация приносит 4 руб. прибыли. Для изготовления вазы требуются 3 кг. глины и 2 ч работы. Прибыль от реализации вазы составляет 5 руб. На фирме 40 ч в неделю работает один гончар; допустимый расход глины составляет 120 кг. в неделю. Сколько горшков и ваз нужно изготовить в неделю, чтобы максимизировать прибыли предприятия?

Решение

Прежде всего следует построить хорошую модель линейного программирования. Затем мы сначала решим нашу задачу графическим методом, а потом решением уравнений.

Шаг 1. Определение переменных.

Пусть

х1— количество простых глиняных горшков, производимых за день;

х2 — количество ваз, производимых за день.

Шаг 2. Определение целевой функции. Каждый горшок дает 4 долл. прибыли, а каждая ваза — 5 долл. Цель, Z, состоящая в максимизации прибыли, выражается как

Z= 4 х1 + 5х2.

Шаг 3. Определение ограничений.

а. Ограничение по труду. Изготовляя горшки или вазы, гончар будет работать максимум 40 ч в неделю. Он может работать меньше, но не больше. Каждый горшок требует 1 ч работы, а каждая ваза — 2 ч. Соответственно

х1 + 2х2 ≤ 40.

б. Ограничение по материалам. Гончар имеет максимум 120 фунтов глины в неделю, расходуемой на производство как горшков, так и ваз. Каждый горшок требует 4 фунтов глины, а каждая ваза - 3 фунтов. Соответственно

4х1+ Зх2 ≤ 120.

Шаг 4. Введение ограничений на значение переменных. Физически невозможно произвести отрицательное количество горшков или ваз. Соответственно

х1,х2 ≥ 0.

Эти координаты можно найти, решив одновременно оба уравнения:

А)(х1 + 2х2 = 40) * 3 = Зх1 + 6х2 = 120;

Б)(4х1 + Зх2 = 120) * 2 = 8х1 + 6х2 =240;

Вычитаем А из Б: -5х1 = -120;

х1 = 24;

х1+ 2х2 = 40;

24 + 2х2 = 40;

2х2 = 16;

х2 = 8.

Можно решить задачу также графически:

Шаг 5. Построение горизонтальной и вертикальной оси графика. Обозначим горизонтальную ось х1, а вертикальную ось — х2. Эти оси определяют границы неотрицательных ограничений. Все точки, лежащие выше горизонтальной оси и справа от вертикальной оси, будут удовлетворять этим ограничениям (рис. 3. В 1).

Шаг 6. Построение линии, отражающей первое ограничение. Ограничение по труду выражается неравенством х1 + 2х2 ≤ 40. Если х2 = 0, то х1 ≤ 40, и х1 = 40 дает точку пересечения с осью X. Если х1= 0, то х2 ≤ 20, и х2 = 20 дает точку, пересечения с осью У. Тогда линия х1 + 2х2 = 40, проведенная между двумя этими точками пересечения, даст верхнюю границу затененной зоны, представленной на рис. ЗВ.2. Все точки, лежащие в этой зоне, включая точки на этой линии, будут удовлетворять ограничению по труду.

Рис. ЗВ.2. Ограничение по труду

Шаг 7. Построение линии, отражающей второе ограничение. Ограничение по материалам выражается неравенством 4х1+ Зх2 ≤ 120. Если х2 = 0, то х1 ≤ 30, и х1 = 30 дает точку пересечения с осью X. Если х1 = 0, то х2 ≤ 40, и х2 = 40 дает точку пересечения с осью У. Мы проводим линию 4х1 + 3х2 = 120 между этими точками пересечения (рис. ЗВ.З).

Рис. ЗВ.З. Область допустимых решений, удовлетворяющая всем ограничениям

После выполнения шага 7 линия ограничения по материалам пересекает линию ограничения по труду в точке с координатами (24, 8), как это показано на графике, представленном на рис. 3 .В.3. Затененная площадь на рис. ЗВ.З называется областью допустимых решений, поскольку в ней содержатся все сочетания переменных, удовлетворяющие всем ограничениям. Очевидно, что существует громадное количество таких комбинаций: фактически их число бесконечно. К счастью, нам нет необходимости рассматривать любое из возможных сочетаний внутри затененной области, поскольку оптимальное решение нужно искать в одном из углов или в крайних точках.

Второй тип задач оптимизации связан с решений транспортных задач:

Ниже в таблице приведены: объемы запасов одной продукции в складах А1, А2, А3 и; объемы потребления этой продукции в пунктах потребления В1, В2, В3, В4 ; а также стоимость перевозки единицы продукции из пункта А в пункт В .

Требуется найти такой план перевозок, чтобы вся продукция со складов была вывезена и все потребности были удовлетворены и при этом обеспечивалась минимальная суммарная стоимость перевозок всей продукции от всех складов в пункты потребления.

Пункты отправления	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	1	2	4	1	50
А2	2	3	1	5	30
А3	3	2	4	4	10
Объемы потребления	30	30	10	20

Решение основано на методе минимального элемента (тарифа). Сущность метода состоит в выборе клетки с минимальным тарифом. Этот метод позволяет найти опорный план транспортной задачи при котором общая стоимость перевозок груза меньше, чем общая стоимость перевозок при плане, найденном для данной задачи с помощью метода северо-западного угла. Поэтому наиболее целесообразно опорный план транспортной задачи находить методом минимального элемента.

В исходной таблице имеются три минимальных элемента, равные 1. Выбираем любой из них, например в левом верхнем углу и заполняем эту клетку числом 30. Недостающий объем 20 заносим в клетку А₁-В₄. Далее заполняем аналогично.

Пункты отправления	Пункты потребления					Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	1 30	2	4	1 20	50
А2	2	3 20	1 10	5	30
А3	3	2 10	4	4	10
Объемы потребления	30	30	10	20