7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

   1. Математическое ожидание.

Не останавливаясь подробно на выводе этой формулы, отметим лишь, что ее легко получить из формулы для математического ожидания дискретной случайной величины, произведя соответствующие замены. От суммирования дискретных значений переходим к интегрированию на отрезке числовой оси. Соответственно суммирование по всем возможным значениям за­ме­ня­ет­­ся на интегрирование в пределах . Вероятность отдельного значения дис­крет­ной слу­чай­ной величинызаменим на элемент вероятности для непрерывной случайной величины. Тогда получаем:

2. Дисперсия непрерывной случайной величины.

Аналогичные преобразования дают возможность получит формулу для дисперсии непрерывной случайной величины.

3. Средне-квадратичное отклонение (стандартное отклонение)

2. Основные законы распределения случайных величин.

   1. Законы распределения дискретной случайной величины.

      1. Биномиальное распределение.

Пусть производится независимых опытов. В каждом опыте с одной и той же вероятностьюможет наступить событие. Случайная величина- это числонаступлений событияв опытах. Вероятностивычисляются по формуле:

,

где .

Число сочетаний вычисляется по формуле: ,

причем и т. д.

Таблица биномиального распределения имеет вид:

	0	1	...
			...

Числа ,...,являются членами бинома. Отсюда и распределение получило такое название.

Пример 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Как велика вероятность того, что из 10 нау­гад выбранных новорожденных будет 6 мальчиков? Предположение о независимости может счи­­таться выполненным. Следовательно, для искомой вероятности имеем

.

Пример 2. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оце­ни­ва­ет­ся вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в шести пробах данная колония мик­ро­ор­га­низ­мов появится 4 раза.

Решение.

2. Распределение Пуассона.

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счет­­­ное множество возможных значений 0, 1, 2... с вероятностями, которые вычисляются по фор­му­ле:

,

параметр распределения.

Следует отметить, что из всех дискретных распределений, распределение Пуассона встречается ча­ще других. Оно тесно связано с биномиальным распределением, являясь предельным.

Если в биномиальном распределении зафиксировать , а , таким образом, чтобы произведениеоставалось постоянным и равным, то получим

.

Распределение Пуассона затабулировано для различных значений параметра .

Пример 1. Известно, что в среднем на приеме у врача бывает ежедневно 5 пациентов. Найти ве­ро­ят­ности обслуживания в день от 0 до 12 пациентов.

Решение:

2. Основные законы распределения непрерывной случайной величины.

   1. Равномерное или прямоугольное распределение.

Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плот­ность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна 0.

Из условия нормировки для непрерывной случайной величины имеем

.

Так как равна нулю за пределами отрезка, то можно изменить пределы интегрирования, сле­до­вательно

График равномерного или прямоугольного распределения имеет вид:

В прикладных задачах равномерное распределение встречается в двух типовых ситуациях: во-пер­вых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны, и, во-вто­рых при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых по величине интервалах.