4. Ряды и числовые последовательности.

Задание 24.

Бесконечно малой числовой последовательностью является….

● ● ● ●

Решение. Последовательность называется бесконечно малой, если предел общего члена при равен 0. Предел дробно-рациональных функций равен 0, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Следовательно, предел равен нулю только у последовательности .

Задание 25

Сумма ряда равна…

● 7/4 ● 2/3 ●3/2 ● 2

Решение. Сумма S данного ряда является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Задание 26

Если радиус сходимости степенного ряда равен 5, то интервал сходимости имеет вид…

● (0; 5) ● (-5; 5) ● (0; 25) ●

Решение. Интервалом сходимости степенного ряда является интервал , где R - радиус сходимости данного ряда. Если R= 5, то интервал сходимости имеет вид (-5; 5).

Задание 27.

Если , то коэффициент (при ) разложения данной функции в ряд Маклорена равен…

● ● ● ●

Решение. Продифференцируем функцию раз: . Найдем значение производной произвольного порядка при x=0: . Так как коэффициент ряда Маклорена вычисляется по формуле , то .

5. Дифференциальные уравнения.

Задание 28

Уравнение является…

уравнением Бернулли дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными линейным дифференциальным уравнением первого порядка однородным относительно х и у дифференциальным уравнением первого порядка

Решение. Уравнение может быть сведено к уравнению вида . Действительно, , поэтому оно является дифференциальным линейным уравнением первого порядка.

Задание 29.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Имеем дифференциальное уравнение с разделенными переменными. проинтегрируем обе части этого уравнения и получим: или, вычислив интегралы, . Отсюда находим общее решение .

Задание 30.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Для решения линейного уравнения можно ввести замену . Тогда (1). Положим , то есть или (2). Подставим (2) в (1), получим . Тогда общее решение примет вид .

Задание 31

Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Подставив в общее решение начальное условие , получим: Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Задание 32.

Решение задачи Коши имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда фундаментальная система решений имеет вид: . Следовательно, общее решение исходного уравнения (1), его производная (2) . Подставляя в (1) и (2) начальные условия , получим систему уравнений: , решая эту систему, получим . Подставив найденные значения в (1), получим решение задачи Коши .

Задание 33

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Общее решение уравнения находится с помощью трехкратного интегрирования по следующей схеме: , отсюда . , отсюда . , отсюда общее решение имеет вид: