3. Дифференциальное и интегральное исчисление

Задание 13

Область определения функции имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Данная функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби не равен нулю, то есть должно выполняться неравенство . Решая уравнение , находим корни . Тогда неравенство можно переписать в виде . Найденные корни разбивают ось на три промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. . Следовательно, .

Задание 14

Предел равен…

● 0 ●2/3 ●1,5 ●4/3

Решение. В заданном пределе имеем неопределённость . В этом случае предел можно вычислить с помощью первого замечательного предела и его следствий. При этом удобно применять эквивалентные бесконечно малые функции: .

Задание 15

Точка разрыва функции равна…

● 2 ● 4 ● -1 ● 3

Решение. Точками разрыва функции являются те точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности. В частности, таковыми могут быть точки, при переходе через которые меняется аналитическое выражение функции. В нашем случае такими точками являются х = -1 и х = 2. Проверим, выполняются ли условия непрерывности для х = -1. Функция в точке х = -1 определена. Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке: , , , . Вывод: функция в точке х = -1 определена, односторонние пределы в точке существуют, но не равны между собой, то есть одно из условий непрерывности функции в точке не выполняется. Следовательно, точка х = -1 - точка разрыва.

Аналогично исследуется на непрерывность и точки разрыва функция в точке х =2: , , , .

Вывод: функция в точке х = 2 определена, односторонние пределы в точке существуют, равны между собой и равны значению функции в точке, то есть все условия непрерывности функции в точке выполняются. Следовательно, точка х = 2 - точка непрерывности.

Задание 16

Производная функции равна…

● ● ● ●

Решение. .

Задание 17

Производная второго порядка функции равна…

● ● ● ●

Решение. Производная второго порядка функции равна производной от ее первой производной, то есть . Тогда . Следовательно, .

Задание 18

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид…

● у = х-1 ● х = -1 ● у = -х+1 ● у = х

Решение. Прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если существуют конечные пределы , . Вычислим эти пределы: , . Следовательно, наклонной асимптотой является прямая у = х-1.

Задание 19.

Частная производная функции равна…

● ● ● ●

Решение. Вычисляя частную производную по переменной х, переменную у рассматриваем как величину постоянную. Тогда

Задание 20

Множество первообразных функции имеет вид…

● ● ● ●

Решение. Нахождение множества первообразных функции равносильно нахождению неопределенного интеграла от этой функции, следовательно

Задание 21

Среднее значение функции на отрезке равно…

● 1 ● ● ●

Среднее значение функции на отрезке вычисляется по формуле . Тогда .

Задание 22

Определенный интеграл равен…

● ● ● ●

Решение. Используя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

Задание 23.

Площадь фигуры, изображенной на рисунке, может быть вычислена по формуле…

Решение. Площадь S данной фигуры можно вычислить по формуле , где при . Уравнение прямой можно найти по точкам пересечения прямой с осями координат или используя уравнение прямой в отрезках: . Абсциссы пересечения прямой и параболы заданы : . Таким образом .